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Exercice 4

Centres étrangers • Jour 1 • 10 juin 2026
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On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$ par $\quad f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x^{2}}$.

On note $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan.

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$.

On note $f'$ sa fonction dérivée et $f''$ sa fonction dérivée seconde.

Partie A

    1. Déterminer les limites de la fonction $f$ aux bornes de l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$.
    2. Interpréter graphiquement les résultats obtenus.
  2. Pour tout réel strictement positif $x$, démontrer que $\quad f'(x)=\dfrac{1-2\ln(x)}{x^{3}}$.
  3. Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ en précisant les limites et les valeurs exactes des éventuels extremums de la fonction.
  4. Déterminer l'équation réduite de la droite $\Delta$, tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A d'abscisse $1$.
  5. Vérifier que pour tout réel strictement positif $x$, on a $\quad f''(x)=\dfrac{-5+6\ln(x)}{x^{4}}$.
    1. Étudier la convexité de la fonction $f$ en précisant les coordonnées des éventuels points d'inflexion.
    2. En déduire que, pour tout réel $x$ appartenant à $\left]0\,;\,\mathrm e^{\frac{5}{6}}\right]$, on a $\quad x-1 \geqslant \dfrac{\ln(x)}{x^{2}}$.
  7. Justifier que, pour tout réel $x$ appartenant à $\left[\mathrm e^{\frac{5}{6}}\,;\,+\infty\right[$, on a aussi $$x-1 \geqslant \dfrac{\ln(x)}{x^{2}}$$

Partie B

On considère la suite $(I_{n})$ définie, pour tout entier naturel non nul $n$, par : $$I_{n}=\int_{1}^{n} \dfrac{\ln(x)}{x^{2}}\,\mathrm{d}x$$

  1. Donner une interprétation graphique de $I_{n}$ pour $n$ un entier naturel non nul.
  2. Démontrer que la suite $(I_{n})$ est croissante.
  3. On souhaite calculer une approximation de $\displaystyle\int_{1}^{10} f(x)\,\mathrm{d}x$ en déterminant la somme des aires des rectangles tracés dans le graphique ci-dessous.
    Rectangles sous la courbe de f
    Pour cela, on utilise le script suivant, écrit en langage Python. 
    from math import *

S=1/(2*exp(1))
for i in range (2,10):
    S =...
print(S)
    Recopier et compléter ce script afin qu'il réponde au problème posé.
  4. À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel non nul $n$, $$I_{n}=\dfrac{n-1-\ln(n)}{n}$$
  5. Calculer la limite de la suite $(I_{n})$ quand $n$ tend vers $+\infty$.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Calcul intégral
Dérivation et convexité
Fonctions logarithmes

Notions détaillées

Limites : opérations et comparaisons Convexité et dérivée seconde Point d'inflexion Fonction logarithme népérien Intégration par parties Étude de fonctions Algorithme Python

Solution écrite

Centres étrangers 10 juin 2026 J1

Partie A

    1. Quotient et croissances comparées. $$\lim_{x\to 0^+}\ln(x)=-\infty,\quad \lim_{x\to 0^+}x^2=0^+ \implies \lim_{x\to 0^+}f(x)=-\infty$$ $$\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x^2}=0$$
      $$\lim_{x\to 0^+} f(x)=-\infty \qquad \lim_{x\to+\infty} f(x)=0$$
    2. Interprétation graphique des limites.
      Asymptote verticale $x=0$ ; asymptote horizontale $y=0$ en $+\infty$.
  2. Produit $u v$ avec $u=\ln$, $v=x^{-2}$. $$f'(x)=\dfrac{1}{x}\,x^{-2}+\ln(x)(-2x^{-3})=\dfrac{1-2\ln(x)}{x^3}$$
    $$f'(x)=\dfrac{1-2\ln(x)}{x^{3}}$$
  3. Sur $]0\,;\,+\infty[$, $x^3>0$ : $f'$ du signe de $1-2\ln(x)$. $$1-2\ln(x)>0 \iff x<\sqrt{\mathrm e}\qquad\text{et}\qquad f(\sqrt{\mathrm e})=\dfrac{1}{2\mathrm e}$$
    $f$ croissante sur $]0\,;\,\sqrt{\mathrm e}]$, décroissante sur $[\sqrt{\mathrm e}\,;\,+\infty[$ ; maximum $\dfrac{1}{2\mathrm e}$.
  4. Tangente en $a=1$ : $y=f'(1)(x-1)+f(1)$. $$f'(1)=1,\quad f(1)=0$$
    $$\Delta : y=x-1$$
  5. Dérivée du produit $(1-2\ln(x))\,x^{-3}$. $$f''(x)=\dfrac{-2}{x^4}-\dfrac{3(1-2\ln(x))}{x^4}=\dfrac{-5+6\ln(x)}{x^4}$$
    $$f''(x)=\dfrac{-5+6\ln(x)}{x^{4}}$$
    1. $f''$ du signe de $-5+6\ln(x)$. $$-5+6\ln(x)>0 \iff x>\mathrm e^{5/6}$$ $$f\!\left(\mathrm e^{5/6}\right)=\dfrac{5}{6\mathrm e^{5/3}}$$
      Concave sur $]0\,;\,\mathrm e^{5/6}]$, convexe sur $[\mathrm e^{5/6}\,;\,+\infty[$ ; inflexion en $\left(\mathrm e^{5/6}\,;\,\dfrac{5}{6\mathrm e^{5/3}}\right)$.
    2. Sur $]0\,;\,\mathrm e^{5/6}]$, $f$ concave : $\mathcal{C}_f$ sous ses tangentes, en particulier sous $\Delta$.
      $$x-1\geqslant\dfrac{\ln(x)}{x^{2}}$$ sur $]0\,;\,\mathrm e^{5/6}]$
  7. Pour $x\geqslant\mathrm e^{5/6}>\sqrt{\mathrm e}$, $f$ décroissante et $x-1$ croissante. $$x-1\geqslant \mathrm e^{5/6}-1\geqslant f(\mathrm e^{5/6})\geqslant f(x)$$
    $$x-1\geqslant\dfrac{\ln(x)}{x^{2}}$$ aussi sur $[\mathrm e^{5/6}\,;\,+\infty[$

Partie B

  1. Sur $[1\,;\,n]$, $f(x)\geqslant 0$.
    $I_n$ est l'aire sous $\mathcal{C}_f$ entre les droites $x=1$ et $x=n$.
  2. $I_{n+1}-I_n=\displaystyle\int_n^{n+1}f(x)\,\mathrm{d}x\geqslant 0$ car $f\geqslant 0$ sur $[1\,;\,+\infty[$.
    La suite $(I_n)$ est croissante.
  3. Premier rectangle : hauteur $f(\sqrt{\mathrm e})=\dfrac{1}{2\mathrm e}$ ; puis, $f$ décroissante sur $[2\,;\,+\infty[$, hauteur $f(i)$. 
    from math import *

S = 1/(2*exp(1))
for i in range(2, 10):
    S = S + log(i)/(i**2)
print(S)
  4. Intégration par parties : $u=\ln(x)$, $v' =x^{-2}$. $$I_n=\Big[-\dfrac{\ln(x)}{x}\Big]_1^n-\int_1^n\dfrac{-1}{x^2}\,\mathrm{d}x=\dfrac{n-1-\ln(n)}{n}$$
    $$I_n=\dfrac{n-1-\ln(n)}{n}$$
  5. $I_n=1-\dfrac{1}{n}-\dfrac{\ln(n)}{n}$ ; croissances comparées.
    $$\lim_{n\to+\infty} I_n=1$$

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