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Exercice 3

Centres étrangers • Jour 1 • 10 juin 2026
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On considère le cube ABCDEFGH représenté ci-dessous.

Cube ABCDEFGH

On munit l'espace du repère orthonormal $\left(\mathrm{A}\,;\,\overrightarrow{AB}\,;\,\overrightarrow{AD}\,;\,\overrightarrow{AE}\right)$.

Soit I le milieu du segment $[EF]$, J le milieu de $[EH]$ et K le milieu de $[AE]$.

  1. Donner les coordonnées des points I, J et K.
    1. Déterminer la valeur du produit scalaire $\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{AJ}$.
    2. En déduire la mesure de l'angle $\widehat{IAJ}$ arrondie au dixième de degré.
    1. Démontrer que le vecteur $\overrightarrow{KC}$ est un vecteur normal au plan $(AIJ)$.
    2. En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(AIJ)$ est $\quad x+y-\dfrac{1}{2}z=0$.
  4. Soit L le projeté orthogonal du point C sur le plan $(AIJ)$.
    1. Déterminer les coordonnées du point L.
    2. En déduire que la distance du point C au plan $(AIJ)$ est égale à $\dfrac{4}{3}$.
  5. Soit M un point de la droite $(FG)$.

    On admet que les coordonnées de M sont $(1\,;\,m\,;\,1)$ avec $m$ appartenant à $\mathbb{R}$.
    1. Démontrer qu'une représentation paramétrique de la droite $(IM)$ est $$\begin{cases} x=\dfrac{1}{2} s+\dfrac{1}{2} \\ y=m s \\ z=1 \end{cases} \quad \text{avec } s \in \mathbb{R}$$
    2. Peut-on affirmer que les droites $(IM)$ et $(KC)$ sont coplanaires quelle que soit la valeur de $m$ ?

Concepts abordés

Chapitres principaux

Géométrie dans l'espace: partie 1
Géométrie dans l'espace: partie 2

Notions détaillées

Produit scalaire dans l’espace Équations de plans Représentation paramétrique de droites Orthogonalité dans l'espace Distances et angles dans l’espace

Solution écrite

Centres étrangers 10 juin 2026 J1

  1. Dans le cube : $\mathrm A(0\,;\,0\,;\,0)$, $\mathrm E(0\,;\,0\,;\,1)$, $\mathrm F(1\,;\,0\,;\,1)$, $\mathrm H(0\,;\,1\,;\,1)$. I milieu de $[EF]$, J milieu de $[EH]$, K milieu de $[AE]$.
    $\mathrm I\left(\dfrac{1}{2}\,;\,0\,;\,1\right)$, $\mathrm J\left(0\,;\,\dfrac{1}{2}\,;\,1\right)$, $\mathrm K\left(0\,;\,0\,;\,\dfrac{1}{2}\right)$
    1. $\overrightarrow{AI}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\ 0\\ 1\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AJ}=\begin{pmatrix}0\\ \frac{1}{2}\\ 1\end{pmatrix}$ ; produit scalaire analytique. $$\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{AJ}=\dfrac{1}{2}\times 0 + 0\times\dfrac{1}{2}+1\times 1=1$$
      $$\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{AJ}=1$$
    2. $\mathrm{AI}=\mathrm{AJ}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ et $\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{AJ}=\mathrm{AI}\,\mathrm{AJ}\,\cos(\widehat{IAJ})$. $$1=\dfrac{5}{4}\cos(\widehat{IAJ}) \iff \cos(\widehat{IAJ})=\dfrac{4}{5}$$
      $\widehat{IAJ}\approx 36{,}9^{\circ}$
    1. $\overrightarrow{AI}$ et $\overrightarrow{AJ}$ non colinéaires ; $\overrightarrow{KC}=\begin{pmatrix}1\\ 1\\ -\frac{1}{2}\end{pmatrix}$. $$\overrightarrow{KC}\cdot\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}=0 \qquad \overrightarrow{KC}\cdot\overrightarrow{AJ}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}=0$$
      $\overrightarrow{KC}$ est normal au plan $(AIJ)$.
    2. Équation $x+y-\dfrac{1}{2}z+d=0$ passant par A. $$d=0$$
      $$x+y-\dfrac{1}{2}z=0$$
    1. $(KC)$ orthogonale au plan ; L $= (KC)\cap(AIJ)$. Représentation paramétrique de $(KC)$ : $\begin{cases}x=1+t\\ y=1+t\\ z=-\dfrac{1}{2}t\end{cases}$. Injection dans le plan : $t=-\dfrac{8}{9}$.
      $\mathrm L\left(\dfrac{1}{9}\,;\,\dfrac{1}{9}\,;\,\dfrac{4}{9}\right)$
    2. Distance $=$ CL dans le repère orthonormal. $$\mathrm{CL}=\sqrt{\left(-\dfrac{8}{9}\right)^2+\left(-\dfrac{8}{9}\right)^2+\left(\dfrac{4}{9}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{144}{81}}=\dfrac{4}{3}$$
      Distance $=\dfrac{4}{3}$
    1. $\overrightarrow{IM}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\ m\\ 0\end{pmatrix}$ ; droite passant par I.
      $$\begin{cases}x=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}s\\ y=ms\\ z=1\end{cases}\quad(s\in\mathbb{R})$$
    2. Les droites sont sécantes ssi le système d'égalisation des paramètres admet une solution. On obtient $t=-2$, $s=-3$ et $m=\dfrac{1}{3}$ uniquement.
      Non : elles sont coplanaires seulement pour $m=\dfrac{1}{3}$.

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