4

Exercice 4

Asie • Jour 1 • 9 juin 2026
Connectez-vous pour suivre vos progrès
  1. On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0\,;\,2\pi]$ par : $$g(x)=x\cos(x)-\sin(x)$$ On admet que la fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle $[0\,;\,2\pi]$ et on note $g'$ sa dérivée.
    1. Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0\,;\,2\pi]$, on a : $$g'(x)=-x\sin(x)$$
    2. On donne le tableau de variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0\,;\,2\pi]$ ci-dessous.

      Justifier chacun des éléments qui figurent dans ce tableau de variations.
      Tableau de variations de g
    3. Montrer qu'il existe une unique valeur réelle $\alpha$ dans l'intervalle $[\pi\,;\,2\pi]$ telle que $g(\alpha)=0$.
    4. En déduire le tableau de signes de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0\,;\,2\pi]$.
  2. On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0\,;\,2\pi]$ par : $$f(x)=\dfrac{\sin(x)}{x}$$ On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $]0\,;\,2\pi]$ et on note $f'$ sa dérivée.
    1. Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0\,;\,2\pi]$ on a : $$f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^{2}}$$
    2. Étudier le signe de la fonction $f'$ sur l'intervalle $]0\,;\,2\pi]$.
    3. En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0\,;\,2\pi]$.
    4. Déterminer la limite de $f$ en $0$. On pourra utiliser le taux d'accroissement de la fonction sinus en $0$.
  3. On considère deux nombres réels $r$ et $s$ qui vérifient l'inégalité : $\quad 0<r<s<\pi$.

    Montrer que : $$\dfrac{r}{s}<\dfrac{\sin(r)}{\sin(s)}$$

Concepts abordés

Chapitres principaux

Dérivation et convexité
Limites de fonctions

Notions détaillées

Limites : opérations et comparaisons Lectures graphiques Étude de fonctions

Solution écrite

Asie 9 juin 2026 J1

    1. Dérivée d'un produit : $(\cos)'=-\sin$ et $(\sin)'=\cos$. $$g'(x)=\cos(x)+x(-\sin(x))-\cos(x)=-x\sin(x)$$
      $$g'(x)=-x\sin(x)$$
    2. Images : $g(0)=0$, $g(\pi)=-\pi$, $g(2\pi)=2\pi$. Sur $[0\,;\,2\pi]$, $-x\leqslant 0$ ; $\sin\geqslant 0$ sur $[0\,;\,\pi]$ et $\sin\leqslant 0$ sur $[\pi\,;\,2\pi]$. Donc $g'\leqslant 0$ sur $[0\,;\,\pi]$ ($g$ strictement décroissante) et $g'\geqslant 0$ sur $[\pi\,;\,2\pi]$ ($g$ strictement croissante).
      Tableau de variations justifié.
    3. $g$ continue et strictement croissante sur $[\pi\,;\,2\pi]$, avec $g(\pi)=-\pi<0<2\pi=g(2\pi)$. D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :
      Existence et unicité de $\alpha\in[\pi\,;\,2\pi]$ tel que $g(\alpha)=0$.
    4. Sur $[0\,;\,\alpha]$, $g$ est majorée par $0$ ; sur $[\alpha\,;\,2\pi]$, $g$ est minorée par $0$.
      $g\leqslant 0$ sur $[0\,;\,\alpha]$, $g\geqslant 0$ sur $[\alpha\,;\,2\pi]$.
    1. Quotient : $f'(x)=\dfrac{x\cos(x)-\sin(x)}{x^2}$.
      $$f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^{2}}$$
    2. Sur $]0\,;\,2\pi]$, $x^2>0$, donc $f'$ a le même signe que $g$.
      $f'\leqslant 0$ sur $]0\,;\,\alpha]$, $f'\geqslant 0$ sur $[\alpha\,;\,2\pi]$.
    3. $f$ strictement décroissante sur $]0\,;\,\alpha]$, strictement croissante sur $[\alpha\,;\,2\pi]$.
    4. Taux d'accroissement de $\sin$ en $0$ : $\dfrac{\sin(x)-\sin(0)}{x}=f(x)$. Comme $\sin$ est dérivable en $0$ : $\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)=\sin'(0)=\cos(0)=1$.
      $$\lim_{x\to 0}f(x)=1$$
  3. Comme $\alpha\geqslant\pi$, on a $0<r<s<\pi\leqslant\alpha$ : $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle, et $\sin(s)>0$. $$f(r)>f(s) \iff \dfrac{\sin r}{r}>\dfrac{\sin s}{s} \iff \dfrac{\sin r}{\sin s}>\dfrac{r}{s}$$
    $$\dfrac{r}{s}<\dfrac{\sin r}{\sin s}$$

Asie 9 juin 2026 J1