4

Exercice 4

Asie • Jour 1 • 5 septembre 2025
Connectez-vous pour suivre vos progrès

Exercice 4

Soit $n$ un entier naturel non nul.

Dans le cadre d'une expérience aléatoire, on considère une suite d'évènements $A_n$ et on note $p_n$ la probabilité de l'évènement $A_n$.

Pour les parties A et B, on considère que :

  • si l'évènement $A_n$ est réalisé, alors $A_{n+1}$ est réalisé avec une probabilité $0,3$ ;
  • si l'évènement $A_n$ n'est pas réalisé, alors $A_{n+1}$ est réalisé avec une probabilité $0,7$.

On suppose que $p_1=1$.

Partie A

  1. Recopier et compléter les probabilités sur les branches de l'arbre des probabilités donné.
  2. Montrer que $p_3=0,58$.
  3. Calculer la probabilité conditionnelle $P_{A_3}(A_2)$, arrondie à $10^{-2}$ près.

Partie B

  1. Recopier et compléter les probabilités sur les branches de l'arbre des probabilités donné.
    1. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul : $$p_{n+1}=-0,4p_n+0,7.$$
    2. On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_n=p_n-0,5$. Montrer que $(u_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
    3. En déduire l'expression de $u_n$, puis de $p_n$, en fonction de $n$.
    4. Déterminer la limite de la suite $(p_n)$.

Partie C

Soit $x\in]0~;~1[$. On suppose que $P_{\overline{A_n}}(A_{n+1})=P_{A_n}(\overline{A_{n+1}})=x$ et on rappelle que $p_1=1$.

  1. Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul : $$p_{n+1}=(1-2x)p_n+x.$$
  2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul : $$p_n=\dfrac12(1-2x)^{n-1}+\dfrac12.$$
  3. Montrer que la suite $(p_n)$ est convergente et donner sa limite.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Suites et Limites
Probabilités Conditionnelles

Notions détaillées

Suites géométriques Limite de suites Suites récurrentes Raisonnement par récurrence Formule des probabilités totales Arbres pondérés

Solution écrite

Asie 5 septembre 2025 J1

Partie A

  1. Arbre à deux niveaux selon $A_n$ puis $A_{n+1}$.

    Si $A_n$ : $P(A_{n+1})=0{,}3$ et $P(\overline{A_{n+1}})=0{,}7$ ; si $\overline{A_n}$ : $P(A_{n+1})=0{,}7$ et $P(\overline{A_{n+1}})=0{,}3$.

  2. $p_1=1$ donc $p_2=0{,}3$ ; probabilités totales au rang $3$. $$p_3=0{,}3\times 0{,}3+0{,}7\times 0{,}7=0{,}09+0{,}49=0{,}58$$
    $$p_3=0{,}58$$
  3. Formule de Bayes / définition des probabilités conditionnelles. $$P_{A_3}(A_2)=\dfrac{P(A_2\cap A_3)}{P(A_3)}=\dfrac{0{,}3\times 0{,}3}{0{,}58}=\dfrac{0{,}09}{0{,}58}\approx 0{,}16$$
    $$P_{A_3}(A_2)\approx 0{,}16$$

Partie B

  1. Arbre générique au rang $n$ : branches $p_n$ et $1-p_n$.
    1. Formule des probabilités totales. $$p_{n+1}=0{,}3p_n+0{,}7(1-p_n)=-0{,}4p_n+0{,}7$$
      $$p_{n+1}=-0{,}4p_n+0{,}7$$
    2. Suite auxiliaire affine → géométrique. $$u_{n+1}=p_{n+1}-0{,}5=-0{,}4(p_n-0{,}5)=-0{,}4u_n$$
      $(u_n)$ géométrique de raison $-0{,}4$, avec $u_1=0{,}5$.
    3. Terme général d'une suite géométrique. $$u_n=0{,}5(-0{,}4)^{n-1},\qquad p_n=0{,}5+0{,}5(-0{,}4)^{n-1}$$
      $$p_n=\dfrac12+\dfrac12(-0{,}4)^{n-1}$$
    4. $|-0{,}4|<1$ implique $(-0{,}4)^{n-1}\to 0$.
      $$\lim_{n\to+\infty}p_n=\dfrac12$$

Partie C

  1. Probabilités totales avec $P_{A_n}(\overline{A_{n+1}})=P_{\overline{A_n}}(A_{n+1})=x$. $$p_{n+1}=(1-x)p_n+x(1-p_n)=(1-2x)p_n+x$$
    $$p_{n+1}=(1-2x)p_n+x$$
  2. Démonstration par récurrence.
    Pour tout $n\geqslant 1$, $$p_n=\dfrac12(1-2x)^{n-1}+\dfrac12.$$
  3. Comme $x\in]0~;~1[$, on a $|1-2x|<1$, donc $(1-2x)^{n-1}\to 0$.
    $$\lim_{n\to+\infty}p_n=\dfrac12$$

Asie 5 septembre 2025 J1