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Exercice 3

Asie • Jour 1 • 5 septembre 2025
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Exercice 3

Dominique répond à un QCM comportant $10$ questions.

Pour chaque question, il est proposé $4$ réponses dont une seule est exacte.

Dominique répond au hasard à chacune des $10$ questions en cochant exactement une case parmi les $4$.

Pour chacune des questions, la probabilité qu'il réponde correctement est donc $\dfrac14$.

On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de bonnes réponses à ce QCM.

  1. Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire $X$ et donner ses paramètres.
  2. Quelle est la probabilité que Dominique obtienne exactement $5$ bonnes réponses ? Arrondir le résultat à $10^{-4}$ près.
  3. Donner l'espérance de $X$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
  4. On suppose qu'une bonne réponse rapporte $1$ point et qu'une mauvaise réponse fait perdre $0,5$ point. On note $Y$ la variable aléatoire qui donne le nombre de points obtenus.
    1. Calculer $P(Y=10)$ ; on donnera la valeur exacte du résultat.
    2. À partir de combien de bonnes réponses la note finale de Dominique est-elle positive ? Justifier.
    3. Calculer $P(Y\leqslant0)$ ; on donnera une valeur approchée au centième.
    4. Montrer que $Y=1,5X-5$.
    5. Calculer l'espérance de la variable aléatoire $Y$.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Probabilités Conditionnelles

Notions détaillées

Espérance et variance (linéarité) Indépendance d'événements

Solution écrite

Asie 5 septembre 2025 J1

  1. $10$ questions indépendantes, succès de probabilité $\frac14$ : schéma de Bernoulli.
    $$X\sim\mathcal{B}\left(10~;~\dfrac14\right)$$
  2. Formule de la loi binomiale. $$P(X=5)=\binom{10}{5}\left(\dfrac14\right)^5\left(\dfrac34\right)^5\approx 0{,}0584$$
    $$P(X=5)\approx 0{,}0584$$
  3. $E(X)=np$. $$E(X)=10\times\dfrac14=2{,}5$$
    $$E(X)=2{,}5$$
    En répondant au hasard, Dominique obtient en moyenne $2{,}5$ bonnes réponses.
    1. $Y=10$ signifie $10$ bonnes réponses. $$P(Y=10)=P(X=10)=\left(\dfrac14\right)^{10}$$
      $$P(Y=10)=\left(\dfrac14\right)^{10}$$
    2. Note $x-0{,}5(10-x)=1{,}5x-5>0$. $$1{,}5x-5>0\iff x>\dfrac{10}{3}$$
      Il faut au moins $4$ bonnes réponses.
    3. $Y\leqslant 0\iff X\leqslant 3$ ; cumul binomiale. $$P(Y\leqslant 0)=P(X\leqslant 3)\approx 0{,}78$$
      $$P(Y\leqslant 0)\approx 0{,}78$$
    4. Expression affine de la note. $$Y=X-0{,}5(10-X)=1{,}5X-5$$
      $$Y=1{,}5X-5$$
    5. Linéarité de l'espérance. $$E(Y)=1{,}5E(X)-5=1{,}5\times 2{,}5-5=-1{,}25$$
      $$E(Y)=-1{,}25$$

Asie 5 septembre 2025 J1