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Exercice 2

Asie • Jour 1 • 5 septembre 2025
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Exercice 2

Dans un triangle non équilatéral, la droite d'Euler passe par le centre du cercle circonscrit, le centre de gravité et l'orthocentre.

On considère un cube ABCDEFGH de côté une unité.

L'espace est muni du repère orthonormé $(A~;~\overrightarrow{AB}~;~\overrightarrow{AD}~;~\overrightarrow{AE})$.

On note I le milieu du segment $[AB]$ et J le milieu du segment $[BG]$.

  1. Donner sans justification les coordonnées des points A, B, G, I et J.
    1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AJ)$.
    2. Montrer qu'une représentation paramétrique de la droite $(IG)$ est : $$\begin{cases} x=\dfrac12+\dfrac12t\\ y=t\\ z=t \end{cases}\quad t\in\mathbb R.$$
    3. Démontrer que les droites $(AJ)$ et $(IG)$ sont sécantes en un point $S\left(\dfrac23~;~\dfrac13~;~\dfrac13\right)$.
    1. Montrer que le vecteur $\vec n(0~;~-1~;~1)$ est normal au plan $(ABG)$.
    2. En déduire une équation cartésienne du plan $(ABG)$.
    3. On admet qu'une représentation paramétrique de la droite $(d)$ de vecteur directeur $\vec n$ et passant par $K\left(\dfrac12~;~0~;~1\right)$ est : $$\begin{cases} x=\dfrac12\\ y=-t\\ z=1+t \end{cases}\quad t\in\mathbb R.$$ Montrer que cette droite coupe le plan $(ABG)$ en $L\left(\dfrac12~;~\dfrac12~;~\dfrac12\right)$.
    4. Montrer que le point L est équidistant des points A, B et G.
  4. Montrer que le triangle ABG est rectangle en B.
    1. Identifier le centre du cercle circonscrit, le centre de gravité et l'orthocentre du triangle ABG.
    2. Vérifier par un calcul que ces trois points sont effectivement alignés.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Géométrie dans l'espace: partie 2
Géométrie dans l'espace: partie 1

Notions détaillées

Équations de plans Représentation paramétrique de droites Distances et angles dans l’espace

Solution écrite

Asie 5 septembre 2025 J1

  1. Repère orthonormé du cube d'arête $1$ ; $I$ et $J$ milieux. $$A(0;0;0),\quad B(1;0;0),\quad G(1;1;1),\quad I\left(\dfrac12;0;0\right),\quad J\left(1;\dfrac12;\dfrac12\right).$$
    Coordonnées de $A$, $B$, $G$, $I$ et $J$.
    1. Droite passant par $A$ de vecteur directeur $\overrightarrow{AJ}$. $$\overrightarrow{AJ}=\left(1;\dfrac12;\dfrac12\right)$$
      $$\begin{cases}x=t\\ y=\dfrac12 t\\ z=\dfrac12 t\end{cases}\quad t\in\mathbb{R}$$
    2. Droite passant par $I$ de vecteur directeur $\overrightarrow{IG}$. $$\overrightarrow{IG}=\left(\dfrac12;1;1\right)$$
      $$\begin{cases}x=\dfrac12+\dfrac12 t\\ y=t\\ z=t\end{cases}\quad t\in\mathbb{R}$$
    3. Recherche d'un point commun aux deux droites. En identifiant les paramètres, on obtient $S\left(\dfrac23;\dfrac13;\dfrac13\right)$.
      Les droites $(AJ)$ et $(IG)$ sont sécantes en $S$.
    1. Un vecteur normal est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan. $$\overrightarrow{AB}=(1;0;0),\quad \overrightarrow{AG}=(1;1;1)$$ $$(0;-1;1)\cdot\overrightarrow{AB}=0,\qquad (0;-1;1)\cdot\overrightarrow{AG}=0.$$
      $\vec{n}=(0;-1;1)$ est normal à $(ABG)$.
    2. Équation $ax+by+cz+d=0$ avec normale $\vec{n}$ et $A\in(ABG)$. $$-y+z+d=0$ et $A(0;0;0)$ donnent $d=0$.
      $$y=z$$
    3. Intersection de $(d)$ avec le plan $y=z$. Sur $(d)$ : $x=\frac12$, $y=-t$, $z=1+t$. Alors $-t=1+t\Rightarrow t=-\frac12$.
      $$L\left(\dfrac12;\dfrac12;\dfrac12\right)$$
    4. Distances au carré dans un repère orthonormé. $$LA^2=LB^2=LG^2=\dfrac34$$
      $L$ est équidistant de $A$, $B$ et $G$ (centre du cercle circonscrit).
  4. Produit scalaire nul : angle droit. $$\overrightarrow{BA}=(-1;0;0),\quad \overrightarrow{BG}=(0;1;1),\quad \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BG}=0.$$
    Le triangle $ABG$ est rectangle en $B$.
    1. Dans un triangle rectangle, l'orthocentre est le sommet de l'angle droit ; $S$ est le centre de gravité (médianes).
      Cercle circonscrit : $L$ ; centre de gravité : $S$ ; orthocentre : $B$.
    2. Colinéarité de $\overrightarrow{LS}$ et $\overrightarrow{LB}$ (droite d'Euler). $$\overrightarrow{LS}=\left(\dfrac16;-\dfrac16;-\dfrac16\right),\quad \overrightarrow{LB}=\left(\dfrac12;-\dfrac12;-\dfrac12\right)=3\overrightarrow{LS}.$$
      $L$, $S$ et $B$ sont alignés.

Asie 5 septembre 2025 J1