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Exercice 4

Asie • Jour 2 • 12 juin 2025
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Exercice 4

Dans un laboratoire, on étudie une réaction chimique dans un réacteur fermé, sous certaines conditions.

Le traitement numérique des données expérimentales a permis de modéliser l'évolution de la température de cette réaction chimique en fonction du temps.

La température est exprimée en degré Celsius et le temps est exprimé en minute.

Dans tout l'exercice, on se place sur l'intervalle de temps $[0~;~10]$.

Partie A

  1. Déterminer, par lecture graphique, au bout de combien de temps la température redescend à sa valeur initiale à l'instant $t=0$.
  2. On admet que la valeur exacte de $f(0)$ est $40$. En déduire la valeur de $b$.
  3. On admet que $f$ vérifie l'équation différentielle : $$y'+0,5y=60\e^{-0,5t}.$$ Déterminer la valeur de $a$.

Partie B : Étude de la fonction $f$

On admet que la fonction $f$ est définie pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~10]$ par :

$$f(t)=(60t+40)\e^{-0,5t}$$
  1. Montrer que pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~10]$ : $$f'(t)=(40-30t)\e^{-0,5t}.$$
    1. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~10]$. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ en y faisant figurer les images des valeurs présentes dans le tableau.
    2. Montrer que l'équation $f(t)=40$ admet une unique solution $\alpha$ strictement positive sur l'intervalle $]0~;~10]$.
    3. Donner une valeur approchée de $\alpha$ au dixième près et en donner une interprétation dans le contexte de l'exercice.
  3. On définit la température moyenne, exprimée en degré Celsius, de cette réaction chimique entre deux temps $t_1$ et $t_2$, exprimés en minute, par : $$\dfrac{1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}f(t)\,\mathrm{d}t$$
    1. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que : $$\int_0^4f(t)\,\mathrm{d}t=320-\dfrac{800}{\e^2}.$$
    2. En déduire une valeur approchée, au degré Celsius près, de la température moyenne de cette réaction chimique au cours des 4 premières minutes.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Primitives et équations différentielles
Calcul intégral
Dérivation et convexité

Notions détaillées

TVI et corollaire (bijection) Fonction exponentielle Valeur moyenne d'une fonction Intégration par parties Étude de fonctions

Solution écrite

Asie 12 juin 2025 J2

Exercice 4

Partie A

  1. Lecture graphique : on repère l'abscisse où la courbe recoupe $f(0)$.
    La température redescend à sa valeur initiale après environ $t\approx 8$ minutes.
  2. On substitue $t=0$ dans $f(t)=at\,e^{-0{,}5t}+b\,e^{-0{,}5t}$ et on utilise $f(0)=40$. $$f(0)=b\,e^{0}=b=40$$
    $b=40$
  3. On substitue $f(t)=(at+40)e^{-0{,}5t}$ dans l'équation différentielle $y'+0{,}5y=60e^{-0{,}5t}$. $$f'(t)=a\,e^{-0{,}5t}-0{,}5(at+40)e^{-0{,}5t}=(a-0{,}5at-20)e^{-0{,}5t}$$ $$f'+0{,}5f=(a-0{,}5at-20+0{,}5at+20)e^{-0{,}5t}=a\,e^{-0{,}5t}=60e^{-0{,}5t}$$
    $a=60$

Partie B

  1. Dérivée par la règle du produit : $(uv)'=u'v+uv'$ avec $u=60t+40$ et $v=e^{-0{,}5t}$. $$f'(t)=60\,e^{-0{,}5t}+(60t+40)\times(-0{,}5)e^{-0{,}5t}=(60-30t-20)e^{-0{,}5t}$$
    $$f'(t)=(40-30t)e^{-0{,}5t}$$
    1. $e^{-0{,}5t}>0$ toujours, donc le signe de $f'$ est celui de $40-30t$.

      $40-30t=0\Rightarrow t=\dfrac{4}{3}$. $f'$ est positive sur $[0;\frac{4}{3}]$ et négative sur $[\frac{4}{3};10]$.

      $$f(0)=40,\quad f\!\left(\dfrac{4}{3}\right)=\left(80+40\right)e^{-2/3}\approx 64{,}7,\quad f(10)=640\,e^{-5}\approx 4{,}3$$
      $f$ croissante sur $[0;\frac{4}{3}]$, décroissante sur $[\frac{4}{3};10]$, maximum $\approx 64{,}7$ en $t=\frac{4}{3}$.
    2. On applique le théorème des valeurs intermédiaires sur $[\frac{4}{3};10]$ où $f$ est continue et strictement décroissante.

      $f(\frac{4}{3})\approx 64{,}7>40$ et $f(10)\approx 4{,}3<40$ : par le TVI, $f(t)=40$ admet une unique solution $\alpha\in]\frac{4}{3};10[$.

      L'équation $f(t)=40$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]0;10]$.
    3. Par calcul numérique ou à la calculatrice.

      $f(3{,}8)pprox 40{,}08$ et $f(3{,}9)pprox 38{,}98$.

      $lphapprox 3{,}8$ : la température redescend à $40$~°C après environ $3{,}8$ minutes.
    1. Intégration par parties : $u=60t+40$, $v'=e^{-0{,}5t}$, donc $u'=60$, $v=-2e^{-0{,}5t}$. $$\int_0^4 f(t)\,dt=\left[-(2)(60t+40)e^{-0{,}5t}\right]_0^4+\int_0^4 120\,e^{-0{,}5t}\,dt$$ $$=\left[-(120t+80)e^{-0{,}5t}\right]_0^4+\left[-240\,e^{-0{,}5t}\right]_0^4$$ $$=\left(-(480+80)e^{-2}+80\right)+\left(-240e^{-2}+240\right)$$ $$=80+240-800e^{-2}=320-\dfrac{800}{e^2}$$
      $$\int_0^4 f(t)\,dt=320-\dfrac{800}{e^2}$$
    2. La température moyenne sur $[0;4]$ est $\dfrac{1}{4}\int_0^4 f(t)\,dt$. $$\dfrac{1}{4}\left(320-\dfrac{800}{e^2}\right)=80-\dfrac{200}{e^2}\approx 80-27{,}1\approx 52{,}9$$
      La température moyenne au cours des 4 premières minutes est d'environ $53$ °C.

Asie 12 juin 2025 J2