3

Exercice 3

Asie • Jour 2 • 12 juin 2025
Connectez-vous pour suivre vos progrès

Exercice 3

L'espace est rapporté à un repère orthonormé.

On considère :

  • les points $C(3~;~0~;~0)$, $D(0~;~2~;~0)$, $H(-6~;~2~;~2)$ et $J\left(\dfrac{-54}{13}~;~\dfrac{62}{13}~;~0\right)$ ;
  • le plan $P$ d'équation cartésienne : $$2x+3y+6z-6=0$$
  • le plan $P'$ d'équation cartésienne : $$x-2y+3z-3=0$$
  • la droite $(d)$ dont une représentation paramétrique est : $$\begin{cases} x=-8+\dfrac13t \\ y=-1+\dfrac12t \\ z=-4+t \end{cases} \quad , \quad t\in\mathbb{R}$$

Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse donnée.

  1. Affirmation 1 : La droite $(d)$ est orthogonale au plan $P$ et coupe ce plan en $H$.
  2. Affirmation 2 : La mesure en degré de l'angle $\widehat{DCH}$, arrondie à $10^{-1}$, est $17,3^{\circ}$.
  3. Affirmation 3 : Les plans $P$ et $P'$ sont sécants et leur intersection est la droite $\Delta$ dont une représentation paramétrique est : $$\begin{cases} x=3-3t \\ y=0 \\ z=t \end{cases} \quad , \quad t\in\mathbb{R}$$
  4. Affirmation 4 : Le point $J$ est le projeté orthogonal du point $H$ sur la droite $(CD)$.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Géométrie dans l'espace: partie 1
Géométrie dans l'espace: partie 2

Notions détaillées

Produit scalaire dans l’espace Équations de plans Représentation paramétrique de droites Orthogonalité dans l'espace Distances et angles dans l’espace

Solution écrite

Asie 12 juin 2025 J2

Exercice 3

  1. On vérifie que $\vec{u}_{(d)}$ est colinéaire à $\vec{n}_P$, puis on substitue $H$ dans la droite et dans le plan.

    $\vec{n}_P=(2;3;6)$, $\vec{u}_{(d)}=(\frac{1}{3};\frac{1}{2};1)=\frac{1}{6}(2;3;6)$ : colinéaires ✓, donc $(d)\perp P$.

    On cherche $t$ tel que le point de $(d)$ soit $H(-6;2;2)$ :

    $$-8+\dfrac{t}{3}=-6\implies t=6 \quad ; \quad -1+\dfrac{6}{2}=2 ✓ \quad ; \quad -4+6=2 ✓$$

    On vérifie que $H\in P$ : $2(-6)+3(2)+6(2)-6=-12+6+12-6=0$ ✓

    Affirmation 1 : VRAIE.
  2. On calcule $\cos(\widehat{DCH})$ par le produit scalaire $\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{CH}$. $$\overrightarrow{CD}=(-3;2;0),\quad\overrightarrow{CH}=(-9;2;2)$$ $$\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{CH}=27+4+0=31$$ $$\|\overrightarrow{CD}\|=\sqrt{13},\quad\|\overrightarrow{CH}\|=\sqrt{89}$$ $$\cos(\widehat{DCH})=\dfrac{31}{\sqrt{13}\times\sqrt{89}}=\dfrac{31}{\sqrt{1157}}\approx 0{,}911$$ $$\widehat{DCH}\approx 24{,}6°$$
    Affirmation 2 : FAUSSE — l'angle vaut environ $24{,}6°$ et non $17{,}3°$.
  3. On vérifie que $\vec{n}_P$ et $\vec{n}_{P'}$ ne sont pas colinéaires, puis on contrôle que la droite $\Delta$ satisfait les deux équations.

    $(2;3;6)$ et $(1;-2;3)$ non colinéaires : les plans sont sécants ✓.

    Pour $\Delta$ : $y=0$ toujours. On substitue $x=3-3t$, $z=t$ dans $P$ :

    $$2(3-3t)+0+6t-6=6-6t+6t-6=0 ✓$$

    Dans $P'$ : $(3-3t)-0+3t-3=0 ✓$

    Affirmation 3 : VRAIE.
  4. On vérifie que $\overrightarrow{HJ}\cdot\overrightarrow{CD}=0$ et que $J\in(CD)$. $$\overrightarrow{CD}=(-3;2;0),\quad J=\left(\dfrac{-54}{13};\dfrac{62}{13};0\right)$$

    $J$ a $z=0$ et on vérifie qu'il est bien sur $(CD)$ (paramétrique). Puis :

    $$\overrightarrow{HJ}=\left(\dfrac{-54}{13}+6;\dfrac{62}{13}-2;-2\right)=\left(\dfrac{24}{13};\dfrac{36}{13};-2\right)$$ $$\overrightarrow{HJ}\cdot\overrightarrow{CD}=(-3)\dfrac{24}{13}+2\cdot\dfrac{36}{13}+0=\dfrac{-72+72}{13}=0 ✓$$
    Affirmation 4 : VRAIE.

Asie 12 juin 2025 J2