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Exercice 2

Asie • Jour 2 • 12 juin 2025
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Exercice 2

Partie A

  1. Application directe de la relation de récurrence. $$u_1=\dfrac{1}{2}\times 30+10=25 \qquad u_2=\dfrac{1}{2}\times 25+10=22,5$$
    $u_1=25$ et $u_2=\dfrac{45}{2}$
  2. On calcule $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$ pour identifier une suite géométrique. $$v_{n+1}=u_{n+1}-20=\dfrac{1}{2}u_n+10-20=\dfrac{1}{2}u_n-10=\dfrac{1}{2}(u_n-20)=\dfrac{1}{2}v_n$$
    $(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $v_0=u_0-20=10$.
  3. D'après la formule du terme général d'une suite géométrique.
    $$v_n=10\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$$
  4. On revient à $u_n$ via $u_n=v_n+20$. $$u_n=v_n+20=10\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^n+20$$
    $$u_n=20+10\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$$
  5. Comme $\left|\dfrac{1}{2}\right|<1$, $\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\to 0$.
    $$\lim_{n\to+\infty}u_n=20$$

Partie B

  1. Application directe de la relation de récurrence pour $n=0$. $$w_1=\dfrac{1}{2}\times 45+\dfrac{1}{2}\times 30+7=22,5+15+7=44,5$$
    $w_1=44,5$ ✓
  2. Le code initialise $u$ et $w$ avant la boucle ; il faut corriger l'initialisation ou le retour.
    Remplacer u=2 par u=30 et initialiser w=45, puis itérer $n$ fois en mettant à jour $w$ et $u$ simultanément à chaque étape.
    1. Récurrence : initialisation pour $n=0$, puis hérédité en substituant $u_n=20+10\cdot(\frac{1}{2})^n$.

      Initialisation : $w_0=10\times 0\times 1+11\times 1+34=45$ ✓

      Hérédité : on suppose la formule vraie au rang $n$. Alors :

      $$w_{n+1}=\dfrac{1}{2}w_n+\dfrac{1}{2}u_n+7$$ $$=\dfrac{1}{2}\left(10n\cdot\frac{1}{2^n}+\frac{11}{2^n}+34\right)+\dfrac{1}{2}\left(20+\frac{10}{2^n}\right)+7$$ $$=\dfrac{10n}{2^{n+1}}+\dfrac{11}{2^{n+1}}+17+10+\dfrac{10}{2^{n+1}}+7$$ $$=\dfrac{10n+10}{2^{n+1}}+\dfrac{11}{2^{n+1}}+34=\dfrac{10(n+1)}{2^{n+1}}+\dfrac{11}{2^{n+1}}+34$$
      La formule est établie par récurrence pour tout $n\in\mathbb{N}$.
    2. D'après le théorème des gendarmes : $0\leqslant 10n\cdot(\frac{1}{2})^n\leqslant\frac{10}{n}\to 0$, et $11\cdot(\frac{1}{2})^n\to 0$.
      $(w_n)$ converge et $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}w_n=34$.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Suites et Limites

Notions détaillées

Théorème d’encadrement (des gendarmes) Suites géométriques Raisonnement par récurrence Algorithme Python

Solution écrite

Asie 12 juin 2025 J2

Exercice 2

Partie A

  1. Application directe de la relation de récurrence. $$u_1=\dfrac{1}{2}\times 30+10=25 \qquad u_2=\dfrac{1}{2}\times 25+10=22{,}5$$
    $u_1=25$ et $u_2=\dfrac{45}{2}$
  2. On calcule $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$ pour identifier une suite géométrique. $$v_{n+1}=u_{n+1}-20=\dfrac{1}{2}u_n+10-20=\dfrac{1}{2}u_n-10=\dfrac{1}{2}(u_n-20)=\dfrac{1}{2}v_n$$
    $(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $v_0=u_0-20=10$.
  3. D'après la formule du terme général d'une suite géométrique.
    $$v_n=10\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$$
  4. On revient à $u_n$ via $u_n=v_n+20$. $$u_n=v_n+20=10\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^n+20$$
    $$u_n=20+10\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$$
  5. Comme $\left|\dfrac{1}{2}\right|<1$, $\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\to 0$.
    $$\lim_{n\to+\infty}u_n=20$$

Partie B

  1. Application directe de la relation de récurrence pour $n=0$. $$w_1=\dfrac{1}{2}\times 45+\dfrac{1}{2}\times 30+7=22{,}5+15+7=44{,}5$$
    $w_1=44{,}5$ ✓
  2. Le code initialise $u$ et $w$ avant la boucle ; il faut corriger l'initialisation ou le retour.
    Remplacer u=2 par u=30 et initialiser w=45, puis itérer $n$ fois en mettant à jour $w$ et $u$ simultanément à chaque étape.
    1. Récurrence : initialisation pour $n=0$, puis hérédité en substituant $u_n=20+10\cdot(\frac{1}{2})^n$.

      Initialisation : $w_0=10\times 0\times 1+11\times 1+34=45$ ✓

      Hérédité : on suppose la formule vraie au rang $n$. Alors :

      $$w_{n+1}=\dfrac{1}{2}w_n+\dfrac{1}{2}u_n+7$$ $$=\dfrac{1}{2}\left(10n\cdot\frac{1}{2^n}+\frac{11}{2^n}+34\right)+\dfrac{1}{2}\left(20+\frac{10}{2^n}\right)+7$$ $$=\dfrac{10n}{2^{n+1}}+\dfrac{11}{2^{n+1}}+17+10+\dfrac{10}{2^{n+1}}+7$$ $$=\dfrac{10n+10}{2^{n+1}}+\dfrac{11}{2^{n+1}}+34=\dfrac{10(n+1)}{2^{n+1}}+\dfrac{11}{2^{n+1}}+34$$
      La formule est établie par récurrence pour tout $n\in\mathbb{N}$.
    2. D'après le théorème des gendarmes : $0\leqslant 10n\cdot(\frac{1}{2})^n\leqslant\frac{10}{n}\to 0$, et $11\cdot(\frac{1}{2})^n\to 0$.
      $(w_n)$ converge et $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}w_n=34$.

Asie 12 juin 2025 J2