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Exercice 1

Asie • Jour 2 • 12 juin 2025
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Exercice 1

Toutes les probabilités, sauf indication contraire, seront arrondies à $10^{-3}$ dans cet exercice.

\og Le virus du chikungunya, transmis à l'homme par la piqûre du moustique tigre provoque chez les patients des douleurs articulaires aiguës qui peuvent être persistantes. En 2005, une importante épidémie de chikungunya a touché les îles de l'Océan Indien et notamment l'île de La Réunion, avec plusieurs centaines de milliers de cas déclarés. En 2007, la maladie a fait son apparition en Europe, puis fin 2013, aux Antilles et a atteint le continent américain en 2014 \fg.

Un test a été mis au point pour le dépistage de ce virus.

Le laboratoire fabriquant ce test fournit les caractéristiques suivantes :

  • la probabilité qu'un individu atteint par le virus ait un test positif est de $0,999$ ;
  • la probabilité qu'un individu non atteint par le virus ait un test positif est de $0,005$.

On procède à un test de dépistage systématique dans une population cible.

Un individu est choisi au hasard dans cette population. On appelle :

  • $M$ l'évènement : \og l'individu choisi est atteint du chikungunya \fg ;
  • $T$ l'évènement : \og le test de l'individu choisi est positif \fg.

On considère que le test est fiable lorsque la probabilité qu'un individu ayant un test positif soit atteint par le virus est supérieure à $0,95$.

Partie A : Étude d'un exemple

  1. Donner les probabilités $P_{M}(T)$ et $P_{\overline{M}}(T)$.
  2. Donner la valeur exacte de $P(M)$.
  3. Recopier et compléter l'arbre pondéré donné ci-dessous.
  4. Calculer la probabilité qu'un individu soit atteint par le virus et ait un test positif.
  5. Calculer la probabilité qu'un individu ait un test positif.
  6. Calculer la probabilité qu'un individu ayant un test positif soit atteint par le virus.
  7. Peut-on estimer que ce test est fiable ? Argumenter.

Partie B : Dépistage sur une population cible

Dans cette partie, on note $p$ la proportion de personnes atteintes par le virus du chikungunya dans une population cible.

  1. Recopier, en l'adaptant, l'arbre pondéré de la question A3 en tenant compte des nouvelles données.
  2. Exprimer la probabilité $P(T)$ en fonction de $p$.
  3. Montrer que $$P_{T}(M)=\dfrac{999p}{994p+5}.$$
  4. Pour quelles valeurs de $p$ peut-on considérer que ce test est fiable ?

Partie C : Étude sur un échantillon

Pendant l'épidémie, on admet que la probabilité d'être atteint du chikungunya sur l'île de La Réunion est de $0,36$.

On considère un échantillon de $n$ individus choisis au hasard, en assimilant ce choix à un tirage au sort avec remise.

On désigne par $X$ la variable aléatoire dénombrant le nombre d'individus infectés dans cet échantillon parmi les $n$ tirés au sort.

On admet que $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,36$.

  1. Déterminer à partir de combien d'individus $n$ la probabilité de l'évènement \og au moins un des $n$ habitants de cet échantillon est atteint par le virus \fg est supérieure à $0,99$.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Loi binomiale
Probabilités Conditionnelles

Notions détaillées

Formule des probabilités totales Arbres pondérés

Solution écrite

Asie 12 juin 2025 J2

Exercice 1

Partie A

  1. Lecture directe des données du laboratoire.
    $P_M(T)=0{,}999$ et $P_{\overline{M}}(T)=0{,}005$
  2. Donnée manquante dans l'énoncé original — on suppose $P(M)=\frac{1}{200}=0{,}005$ (valeur typique pour ce classique de bac).
    $P(M)=\dfrac{1}{200}$
  3. Arbre à deux niveaux : première branche $M/\overline{M}$, deuxième branche $T/\overline{T}$.

    Branches : $P(M)=0{,}005$ ; $P(\overline{M})=0{,}995$ ; puis $P_M(T)=0{,}999$, $P_M(\overline{T})=0{,}001$, $P_{\overline{M}}(T)=0{,}005$, $P_{\overline{M}}(\overline{T})=0{,}995$.

  4. D'après la règle de multiplication sur l'arbre. $$P(M\cap T)=P(M)\times P_M(T)=0{,}005\times 0{,}999$$
    $P(M\cap T)\approx 0{,}005$
  5. D'après la formule des probabilités totales ($M$ et $\overline{M}$ forment une partition). $$P(T)=P(M)\times P_M(T)+P(\overline{M})\times P_{\overline{M}}(T)$$ $$P(T)=0{,}005\times 0{,}999+0{,}995\times 0{,}005$$
    $P(T)\approx 0{,}010$
  6. D'après la formule de Bayes. $$P_T(M)=\dfrac{P(M\cap T)}{P(T)}=\dfrac{0{,}005\times 0{,}999}{0{,}005\times 0{,}999+0{,}995\times 0{,}005}$$
    $P_T(M)\approx 0{,}501$
  7. On compare $P_T(M)$ au seuil de fiabilité $0{,}95$.
    $P_T(M)\approx 0{,}501 < 0{,}95$ : le test n'est pas fiable pour cette population.

Partie B

  1. On remplace $P(M)=p$ et $P(\overline{M})=1-p$ dans l'arbre.

    Branches : $P(M)=p$, $P(\overline{M})=1-p$, puis mêmes probabilités conditionnelles $0{,}999$ et $0{,}005$.

  2. D'après la formule des probabilités totales. $$P(T)=p\times 0{,}999+(1-p)\times 0{,}005$$
    $P(T)=0{,}994p+0{,}005$
  3. D'après la formule de Bayes, puis simplification. $$P_T(M)=\dfrac{p\times 0{,}999}{0{,}994p+0{,}005}=\dfrac{0{,}999p}{0{,}994p+0{,}005}$$ On multiplie numérateur et dénominateur par $1000$ :
    $$P_T(M)=\dfrac{999p}{994p+5}$$
  4. On résout l'inéquation $P_T(M)\geqslant 0{,}95$. $$\dfrac{999p}{994p+5}\geqslant 0{,}95$$ $$999p\geqslant 0{,}95(994p+5)$$ $$999p\geqslant 944{,}3p+4{,}75$$ $$54{,}7p\geqslant 4{,}75$$ $$p\geqslant \dfrac{4{,}75}{54{,}7}\approx 0{,}0868$$
    Le test est fiable lorsque $p\geqslant 0{,}087$, soit quand au moins 8,7 % de la population est atteinte.

Partie C

  1. $X\sim\mathcal{B}(n;0{,}36)$. On cherche $n$ tel que $P(X\geqslant 1)>0,99$, soit $1-P(X=0)>0,99$. $$P(X=0)=0{,}64^n\leqslant 0{,}01$$ $$n\ln(0{,}64)\leqslant\ln(0{,}01)$$ $$n\geqslant\dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}64)}\approx\dfrac{-4{,}605}{-0{,}446}\approx 10{,}3$$
    À partir de $n=11$ individus.

Asie 12 juin 2025 J2