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Exercice 4

Asie • Jour 1 • 11 juin 2025
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On considère la fonction $ f $ définie sur l'intervalle $ ]0~;~ + \infty[ $ par

$$f(x) = \frac{\e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$$

et on appelle $ \mathcal{C}_f $ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

  1. On définit la fonction $ g $ sur l'intervalle $ ]0~;~ + \infty[ $ par $ g(x) = \e^{\sqrt{x}} $.
    1. Montrer que $ g'(x) = f(x) $ pour tout $ x $ de l'intervalle $ ]0~;~ + \infty[ $.
    2. Pour tout réel $ x $ de l'intervalle $ ]0~;~ + \infty[ $, calculer $ f'(x) $ et montrer que : $$f'(x) = \dfrac{\e^{\sqrt{x}}\left(\sqrt x - 1\right)}{4x\sqrt x}.$$
    1. Déterminer la limite de la fonction $ f $ en $ 0 $.
    2. Interpréter graphiquement ce résultat.
    1. Déterminer la limite de la fonction $ f $ en $ + \infty $.
    2. Étudier le sens de variation de la fonction $ f $ sur $ ]0~;~+ \infty[ $.
      Dresser le tableau de variations de la fonction $ f $ en y faisant figurer les limites aux bornes de l'intervalle de définition.
    3. Montrer que l'équation $ f(x) = 2 $ admet une unique solution sur l'intervalle $ [1~;~+\infty[ $ et donner une valeur approchée à $ 10^{-1} $ près de cette solution.
  4. On pose $ I = \displaystyle\int_1^2 f(x)\, \text{d}x $.
    1. Calculer $ I $.
    2. Interpréter graphiquement le résultat.
  5. On admet que la fonction $ f $ est deux fois dérivable sur l'intervalle $ ]0~;~ + \infty[ $ et que : $$f''(x) = \dfrac{\e^{\sqrt{x}}\left(x - 3\sqrt x + 3\right)}{8x^2\sqrt x}.$$
    1. En posant $ X = \sqrt x $, montrer que $ x - 3\sqrt x + 3 > 0 $ pour tout réel $ x $ de l'intervalle $ ]0~;~ + \infty[ $.
    2. Étudier la convexité de la fonction $ f $ sur l'intervalle $ ]0~;~ + \infty[ $.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Dérivation et convexité
Limites de fonctions
Continuité
Calcul intégral

Notions détaillées

TVI et corollaire (bijection) Limites : opérations et comparaisons Convexité et dérivée seconde Point d'inflexion Théorème fondamental de l’intégration Étude de fonctions

Solution écrite

Asie 11 juin 2025 J1

    1. Dérivée de $e^{u}$ avec $u=\sqrt{x}$ : $(e^{u})'=u'e^{u}$. $$g'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\mathrm{e}^{\sqrt{x}}=f(x).$$
      $$g'(x)=f(x)$$
    2. Quotient / produit ; simplification algébrique. $$f'(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{\sqrt{x}}(\sqrt{x}-1)}{4x\sqrt{x}}.$$
      Formule demandée établie.
    1. $\mathrm{e}^{\sqrt{x}}\to 1$ et $2\sqrt{x}\to 0^{+}$.
      $$\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=+\infty$$
    2. Limite infinie en $0^{+}$ : asymptote verticale.
      Asymptote verticale d'équation $x=0$.
    1. Croissances comparées : $\dfrac{\mathrm{e}^{X}}{X}\to+\infty$ avec $X=\sqrt{x}$.
      $$\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$$
    2. Signe de $f'$ celui de $\sqrt{x}-1$. $f$ décroissante sur $]0~;~1]$, croissante sur $[1~;~+\infty[$, avec $f(1)=\dfrac{\mathrm{e}}{2}$.
      Minimum en $x=1$ : $f(1)=\dfrac{\mathrm{e}}{2}$ ; limites $+\infty$ aux bornes.
    3. Théorème de la bijection (corollaire du TVI). $f$ continue, strictement croissante sur $[1~;~+\infty[$, $f(1)\approx 1{,}36<2$ et $f\to+\infty$.
      Unique solution ; valeur approchée $$\approx 4{,}6.$$
    1. $g$ est une primitive de $f$. $$I=[g(x)]_1^2=\mathrm{e}^{\sqrt{2}}-\mathrm{e}.$$
      $$I=\mathrm{e}^{\sqrt{2}}-\mathrm{e}$$
    2. $f>0$ sur $[1~;~2]$.
      $I$ est l'aire sous $\mathcal{C}_f$ entre $x=1$ et $x=2$.
    1. Discriminant de $X^2-3X+3$ : $\Delta=-3<0$, coefficient dominant positif. Pour tout $X$, $X^2-3X+3>0$, donc pour tout $x>0$, $x-3\sqrt{x}+3>0$.
      Inégalité établie.
    2. $f''>0$ sur $]0~;~+\infty[$.
      $f$ est convexe sur $]0~;~+\infty[$.

Asie 11 juin 2025 J1