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Exercice 2

Asie • Jour 1 • 11 juin 2025
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Une entreprise qui fabrique des jouets doit effectuer des contrôles de conformité avant leur commercialisation. Dans cet exercice, on s'intéresse à deux tests effectués par l'entreprise de jouets : un test de fabrication et un test de sécurité.

À la suite d'un grand nombre de vérifications, l'entreprise affirme que :

  • 95 % des jouets réussissent le test de fabrication ;
  • Parmi les jouets qui réussissent le test de fabrication, 98 % réussissent le test de sécurité ;
  • 1 % des jouets ne réussissent aucun des deux tests.

On choisit au hasard un jouet parmi les jouets produits. On note :

  • $ F $ l'évènement : « le jouet réussit le test de fabrication » ;
  • $ S $ l'évènement : « le jouet réussit le test de sécurité ».

Partie A

  1. À partir des données de l'énoncé, donner les probabilités $ P(F) $ et $ P_F(S) $.
    1. Construire un arbre pondéré qui illustre la situation avec les données disponibles dans l'énoncé.
    2. Montrer que $ P_{\overline{F}}\left(\overline{S}\right) = 0,2 $.
  3. Calculer la probabilité que le jouet choisi réussisse les deux tests.
  4. Montrer que la probabilité que le jouet réussisse le test de sécurité vaut 0,97 arrondi au centième.
  5. Lorsque le jouet a réussi le test de sécurité, quelle est la probabilité qu'il réussisse le test de fabrication ? Donner une valeur approchée du résultat au centième.

Partie B

On prélève au hasard dans la production de l'entreprise un lot de $ n $ jouets, où $ n $ est un entier strictement positif. On suppose que ce prélèvement se fait sur une quantité suffisamment grande de jouets pour être assimilé à une succession de $ n $ tirages indépendants avec remise.

On rappelle que la probabilité qu'un jouet réussisse le test de fabrication est égale à $ 0,95 $.

Soit $ S_n $ la variable aléatoire qui compte le nombre de jouets ayant réussi le test de fabrication. On admet que $ S_n $ suit la loi binomiale de paramètres $ n $ et $ p = 0,95 $.

  1. Exprimer l'espérance et la variance de la variable aléatoire $ S_n $ en fonction de $ n $.
  2. Dans cette question, on pose $ n = 150 $.
    1. Déterminer une valeur approchée à $ 10^{-3} $ près de $ P\left(S_{150} = 145\right) $. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
    2. Déterminer la probabilité qu'au moins 94 % des jouets de ce lot réussissent le test de fabrication. Donner une valeur approchée du résultat à $ 10^{-3} $ près.
  3. Dans cette question, l'entier naturel non nul $ n $ n'est plus fixé.
    Soit $ F_n $ la variable aléatoire définie par : $ F_n = \dfrac{S_n}{n} $. La variable aléatoire $ F_n $ représente la proportion des jouets qui réussissent le test de fabrication dans un lot de $ n $ jouets prélevés.
    On note $ E(F_n) $ l'espérance et $ V(F_n) $ la variance de la variable aléatoire $ F_n $.
    1. Montrer que $ E(F_n) = 0,95 $ et que $ V(F_n) = \dfrac{0,0475}{n} $.
    2. On s'intéresse à l'évènement $ I $ suivant : « la proportion de jouets qui réussissent le test de fabrication dans un lot de $ n $ jouets est strictement comprise entre 93 % et 97 % ».
      En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, déterminer une valeur $ n $ de la taille du lot de jouets à prélever, à partir de laquelle la probabilité de l'évènement $ I $ est supérieure ou égale à $ 0,96 $.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Somme de variables aléatoires
Loi des grands nombres
Loi binomiale
Probabilités Conditionnelles

Notions détaillées

Espérance et variance (linéarité) Inégalité de Bienaymé–Tchebychev Formule des probabilités totales Arbres pondérés

Solution écrite

Asie 11 juin 2025 J1

Partie A

  1. Lecture directe de l'énoncé.
    $$P(F)=0{,}95\quad\text{et}\quad P_F(S)=0{,}98$$
    1. Arbre à deux niveaux $F/\overline{F}$ puis $S/\overline{S}$.

      $P(F)=0{,}95$, $P(\overline{F})=0{,}05$, $P_F(S)=0{,}98$, $P_F(\overline{S})=0{,}02$ ; les branches issues de $\overline{F}$ restent à compléter.

    2. $P(\overline{F}\cap\overline{S})=0{,}01$ et définition des probabilités conditionnelles. $$P_{\overline{F}}(\overline{S})=\dfrac{P(\overline{F}\cap\overline{S})}{P(\overline{F})}=\dfrac{0{,}01}{0{,}05}=0{,}2.$$
      $$P_{\overline{F}}(\overline{S})=0{,}2$$
  3. Règle de multiplication sur l'arbre. $$P(F\cap S)=P(F)\times P_F(S)=0{,}95\times 0{,}98=0{,}931$$
    $$P(F\cap S)=0{,}931$$
  4. Formule des probabilités totales ($F$ et $\overline{F}$ partitionnent l'univers). $$P(S)=0{,}931+0{,}05\times 0{,}8=0{,}931+0{,}04=0{,}971\approx 0{,}97$$
    $$P(S)=0{,}971\approx 0{,}97$$
  5. Formule de Bayes. $$P_S(F)=\dfrac{P(F\cap S)}{P(S)}=\dfrac{0{,}931}{0{,}971}\approx 0{,}96$$
    $$P_S(F)\approx 0{,}96$$

Partie B

  1. Formules $E=np$ et $V=np(1-p)$ pour une loi binomiale.
    $$E(S_n)=0{,}95n,\qquad V(S_n)=0{,}0475n$$
    1. Formule de la loi binomiale. $$P(S_{150}=145)=\binom{150}{145}(0{,}95)^{145}(0{,}05)^5\approx 0{,}109$$
      $$P(S_{150}=145)\approx 0{,}109$$
      Environ $10{,}9\,\%$ de chances d'avoir exactement $145$ jouets conformes sur $150$.
    2. $94\,\%$ de $150$ vaut $141$ : on calcule $P(S_{150}\geqslant 141)$. $$P(S_{150}\geqslant 141)=1-P(S_{150}\leqslant 140)\approx 0{,}781$$
      $$P(S_{150}\geqslant 141)\approx 0{,}781$$
    1. Linéarité de l'espérance et $V(aX)=a^2V(X)$. $$E(F_n)=\dfrac{E(S_n)}{n}=0{,}95,\qquad V(F_n)=\dfrac{V(S_n)}{n^2}=\dfrac{0{,}0475}{n}.$$
      $$E(F_n)=0{,}95\quad\text{et}\quad V(F_n)=\dfrac{0{,}0475}{n}$$
    2. Bienaymé-Tchebychev avec $a=0{,}02$ : $I=\{|F_n-0{,}95|<0{,}02}$. $$P(I)\geqslant 1-\dfrac{0{,}0475}{0{,}02^2 n}=1-\dfrac{118{,}75}{n}.$$ $$1-\dfrac{118{,}75}{n}\geqslant 0{,}96\iff n\geqslant \dfrac{118{,}75}{0{,}04}=2968{,}75.$$
      Il suffit de prendre $$n=2969.$$

Asie 11 juin 2025 J1