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Exercice 1

Asie • Jour 1 • 11 juin 2025
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L'espace est rapporté à un repère orthonormé $(\text{O};~\vec{i};~\vec{j};~\vec{k})$.

On considère :

  • $ \alpha $ un réel quelconque ;
  • les points $A(1~;~1~;~0)$, $B(2~;~1~;~0)$ et $C(\alpha~;~3~;~\alpha)$;
  • $ (d) $ la droite dont une représentation paramétrique est : $$\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = \phantom{11} 2t\\ z = \phantom{1}- t \end{array} \right., \quad t \in \mathbb{R}$$

Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse donnée. Une réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.

Affirmation 1 : Pour toutes les valeurs de $ \alpha $, les points $ A $, $ B $ et $ C $ définissent un plan et un vecteur normal à ce plan est $ \vec{j}\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} $.

Affirmation 2 : Il existe exactement une valeur de $ \alpha $ telle que les droites $ (AC) $ et $ (d) $ soient parallèles.

Affirmation 3 : Une mesure de l'angle $ \widehat{\text{OAB}} $ est $ 135° $.

Affirmation 4 : Le projeté orthogonal du point $ A $ sur la droite $ (d) $ est le point $H(1~;~2~;~2)$.

Affirmation 5 : La sphère de centre O et de rayon 1 rencontre la droite $ (d) $ en deux points distincts.

On rappelle que la sphère de centre $ \Omega $ et de rayon $ r $ est l'ensemble des points de l'espace situés à une distance $ r $ de $ \Omega $.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Géométrie dans l'espace: partie 1
Géométrie dans l'espace: partie 2

Notions détaillées

Produit scalaire dans l’espace Équations de plans Représentation paramétrique de droites Orthogonalité dans l'espace Distances et angles dans l’espace

Solution écrite

Asie 11 juin 2025 J1

Affirmation 1

Vecteurs non colinéaires définissent un plan ; normale orthogonale à deux vecteurs du plan. $$\overrightarrow{AB}=(1;0;0),\quad \overrightarrow{AC}=(\alpha-1;2;\alpha).$$ Les composantes selon $\vec{j}$ sont $0$ et $2$ : les vecteurs ne sont jamais colinéaires, donc $A$, $B$, $C$ définissent toujours un plan. Mais $\overrightarrow{AC}\cdot\vec{j}=2\neq 0$ : $\vec{j}$ n'est pas normal au plan.
FAUSSE.

Affirmation 2

Parallélisme de droites : vecteurs directeurs colinéaires. $$\overrightarrow{AC}=(\alpha-1;2;\alpha),\quad \vec{u}_{(d)}=(1;2;-1).$$ Colinéarité : $\alpha-1=k$, $2=2k$, $\alpha=-k$. Alors $k=1$, d'où $\alpha=2$ et $\alpha=-1$ : contradiction.
FAUSSE — aucune valeur de $\alpha$ ne convient.

Affirmation 3

Produit scalaire : $\cos\theta=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}$. $$\overrightarrow{AO}=(-1;-1;0),\quad \overrightarrow{AB}=(1;0;0)$$ $$\cos(\widehat{OAB})=\dfrac{-1}{\sqrt{2}\times 1}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\implies \widehat{OAB}=135°.$$
VRAIE.

Affirmation 4

Le projeté orthogonal $H$ de $A$ sur $(d)$ vérifie $\overrightarrow{AH}\cdot\vec{u}=0$ et $H\in(d)$.

Pour $M(1+t;2t;-t)$ : $\overrightarrow{AM}\cdot\vec{u}=0$ donne $t=\dfrac13$, donc $H\left(\dfrac43;\dfrac23;-\dfrac13\right)\neq(1;2;2)$.

De plus $(1;2;2)$ n'est même pas sur $(d)$ (système incompatible).

FAUSSE.

Affirmation 5

Intersection sphère–droite : $\|\overrightarrow{OM}\|=1$ avec $M\in(d)$. $$OM^2=(1+t)^2+(2t)^2+t^2=6t^2+2t+1=1\iff 2t(3t+1)=0.$$ Solutions $t=0$ et $t=-\dfrac13$ : deux points distincts.
VRAIE.

Asie 11 juin 2025 J1