Exercice 4

1. Dans un repère orthonormé $ \left( O ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} , \overrightarrow{k} \right)$ de l'espace, on considère le plan $ (P) $ d'équation :
   $$ (P) : \quad 2x + 2y - 3z + 1 = 0. $$
   On considère les trois points A, B et C de coordonnées :
   • $ A(1 ; 0 ; 1) $
   • $ B(2 ; -1 ; 1) $
   • et $ C(-4 ; -6 ; 5) $
   Le but de cet exercice est d’étudier le rapport des aires entre un triangle et son projeté orthogonal dans un plan.
2. 

Partie A

1. Pour chacun des points A, B et C, vérifier s’il appartient au plan $ (P) $.
2. Montrer que le point $ C'(0 ; -2 ; -1) $ est le projeté orthogonal du point C sur le plan $ (P) $.
3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $ (AB) $.
4. On admet l’existence d’un unique point H vérifiant les deux conditions $$ \begin{cases} H \in (AB) \\ (AB) \text{ et } (HC) \text{ sont orthogonales.} \end{cases} $$

   Déterminer les coordonnées du point H.

Partie B

On admet que les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{HC} $ sont :

$$ \overrightarrow{HC} \begin{pmatrix} -\dfrac{11}{2} \\ -\dfrac{11}{2} \\ 4 \end{pmatrix} $$

1. Calculer la valeur exacte de $ \| \overrightarrow{HC} \| $.
2. Soit S l’aire du triangle ABC. Déterminer la valeur exacte de S.

Partie C

On admet que $ HC' = \dfrac{\sqrt{17}}{2} $.

1. Soit $ \alpha = \widehat{CHC'} $. Déterminer la valeur de $ \cos(\alpha) $.
2. 1. Montrer que les droites $ (C'H) $ et $ (AB) $ sont perpendiculaires.
   2. Calculer S’ l’aire du triangle ABC’, on donnera la valeur exacte.
   3. Donner une relation entre S, S’ et $ \cos(\alpha) $.