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Exercice 2

Asie • Jour 2 • 11 juin 2024
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Léa passe une bonne partie de ses journées à jouer à un jeu vidéo et sintéresse aux chances de victoire de ses prochaines parties.
Elle estime que si elle vient de gagner une partie, elle gagne la suivante dans 70 % des cas.
Mais si elle vient de subir une défaite, dprès elle, la probabilité qulle gagne la suivante est de 0,2.
De plus, elle pense avoir autant de chance de gagner la première partie que de la perdre.
On s'appuiera sur les affirmations de Léa pour répondre aux questions de cet exercice.

Pour tout entier naturel $ n $ non nul, on définit les évènements suivants :

  • $ G_n $ : « Léa gagne la $ n $-ième partie de la journée »;
  • $ D_n $ : « Léa perd la $ n $-ième partie de la journée ».

Pour tout entier naturel $ n $ non nul, on note $ g_n $ la probabilité de lévènement $ G_n $.
On a donc $ g_1 = 0,5 $.

  1. Quelle est la valeur de la probabilité conditionnelle $ p_{G_1}(D_2) $ ?
  2. Recopier et compléter lrbre des probabilités ci-dessous qui modélise la situation pour les deux premières parties de la journée :
  3. Calculer $ g_2 $.
  4. Soit $ n $ un entier naturel non nul.
    1. Recopier et compléter l'arbre des probabilités ci-dessous qui modélise la situation pour les $ n $-ième et $ (n+1) $-ième parties de la journée.
    2. Justifier que pour tout entier naturel $ n $ non nul, $$ g_{n+1} = 0,5g_n + 0,2. $$
  5. Pour tout entier naturel $ n $ non nul, on pose $ v_n = g_n - 0,4 $.
    1. Montrer que la suite $ (v_n) $ est géométrique.
      On précisera son premier terme et sa raison.
    2. Montrer que, pour tout entier naturel $ n $ non nul : $$ g_n = 0,1 \times 0,5^{n-1} + 0,4. $$
  6. Étudier les variations de la suite $ (g_n) $.
  7. Donner, en justifiant, la limite de la suite $ (g_n) $.
    Interpréter ce résultat dans le contexte de lénoncé.
  8. Déterminer, par le calcul, le plus petit entier $ n $ tel que $ g_n - 0,4 \leq 0,001 $.
  9. Recopier et compléter les lignes 4, 5 et 6 de la fonction suivante, écrite en langage Python, afin qulle renvoie le plus petit rang $ n $ à partir duquel les termes de la suite $ (g_n) $ sont tous inférieurs ou égaux à $ 0,4 + e $, où $ e $ est un nombre réel strictement positif. 
    
                      def seuil(e):
                        g=0.5
                        n=1
                        while ... :
                          g = 0.5g+0.2
                          n = ...
                        return(n)

Concepts abordés

Chapitres principaux

Loi binomiale
Probabilités Conditionnelles

Notions détaillées

Suites géométriques Limite de suites Suites récurrentes Formule des probabilités totales Arbres pondérés Algorithme Python

Solution écrite

Asie 11 juin 2024 - J2

  1. Complémentarité : $P_{G_1}(D_2)=1-P_{G_1}(G_2)$.
    $$P_{G_1}(D_2)=0{,}3$$
  2. Branches issues de $G_1$ et $D_1$. $P(G_1)=P(D_1)=0{,}5$, $P_{G_1}(G_2)=0{,}7$, $P_{G_1}(D_2)=0{,}3$, $P_{D_1}(G_2)=0{,}2$, $P_{D_1}(D_2)=0{,}8$.
    Arbre des deux premières parties complété.
  3. Formule des probabilités totales. $$g_2=0{,}5\times 0{,}7+0{,}5\times 0{,}2=0{,}45.$$
    $$g_2=0{,}45$$
    1. Même structure conditionnelle aux rangs $n$ et $n+1$. Branches : $g_n$, $1-g_n$, puis $0{,}7$, $0{,}3$, $0{,}2$, $0{,}8$.
      Arbre au rang $n$ complété.
    2. Probabilités totales : $g_{n+1}=0{,}7g_n+0{,}2(1-g_n)$. $$g_{n+1}=0{,}5g_n+0{,}2.$$
      $$g_{n+1}=0{,}5g_n+0{,}2$$
    1. Translater pour obtenir une suite géométrique. $$v_{n+1}=0{,}5v_n,\quad v_1=0{,}1.$$
      $(v_n)$ géométrique de raison $0{,}5$ et de premier terme $0{,}1$.
    2. Expression explicite $v_n=v_1\times 0{,}5^{n-1}$.
      $$g_n=0{,}1\times 0{,}5^{n-1}+0{,}4$$
  6. Étudier le signe de $g_{n+1}-g_n$. $$g_{n+1}-g_n=-0{,}1\times 0{,}5^{n}<0.$$
    $(g_n)$ est décroissante.
  7. $|0{,}5|<1$ implique $0{,}5^{n-1}\to 0$. $$\lim g_n=0{,}4.$$
    À long terme, Léa gagne avec une probabilité $0{,}4$.
  8. Inéquation avec $\ln$ (attention : $\ln 0{,}5<0$). $$0{,}1\times 0{,}5^{n-1}\leqslant 0{,}001\iff n\geqslant 1+\dfrac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}5}\approx 7{,}6.$$
    $$n=8$$
  9. Boucle while tant que $g>0{,}4+e$. 
    def seuil(e):
    g=0.5
    n=1
    while g > 0.4 + e :
        g = 0.5*g + 0.2
        n = n + 1
    return(n)
    Lignes 4–6 : g > 0.4 + e ; n = n + 1.

Asie 11 juin 2024 - J2