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Exercice 1

Asie • Jour 2 • 11 juin 2024
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On considère la fonction $ f $ définie sur $ ]0 ; +\infty[ $ par : $$ f(x) = x^2 - x\ln(x). $$
On admet que $ f $ est deux fois dérivable sur $ ]0 ; +\infty[ $.
On note $ f' $ la fonction dérivée de la fonction $ f $ et $ f'' $ la fonction dérivée de la fonction $ f' $.

Partie A : Étude de la fonction $ f $

  1. Déterminer les limites de la fonction $ f $ en 0 et en $ +\infty $.
  2. Pour tout réel $ x $ strictement positif, calculer $ f'(x) $.
  3. Montrer que pour tout réel $ x $ strictement positif : $$ f''(x) = \frac{2x - 1}{x}. $$
  4. Étudier les variations de la fonction $ f' $ sur $ ]0 ; +\infty[ $, puis dresser le tableau des variations de la fonction $ f' $ sur $ ]0 ; +\infty[ $.
    On veillera à faire apparaître la valeur exacte de l’extrémum de la fonction $ f' $ sur $ ]0 ; +\infty[ $.
    Les limites de la fonction $ f' $ aux bornes de l’intervalle de définition ne sont pas attendues.
  5. Montrer que la fonction $ f $ est strictement croissante sur $ ]0 ; +\infty[ $.

Partie B : Étude d’une fonction auxiliaire pour la résolution de l’équation $ f(x) = x $

On considère dans cette partie la fonction $ g $ définie sur $ ]0 ; +\infty[ $ par : $$ g(x) = x - \ln(x). $$
On admet que la fonction $ g $ est dérivable sur $ ]0 ; +\infty[ $, on note $ g' $ sa dérivée.

  1. Pour tout réel strictement positif, calculer $ g'(x) $, puis dresser le tableau des variations de la fonction $ g $.
    Les limites de la fonction $ g $ aux bornes de l’intervalle de définition ne sont pas attendues.
  2. On admet que 1 est l’unique solution de l’équation $ g(x) = 1 $.
    Résoudre, sur l’intervalle $ ]0 ; +\infty[ $, l’équation $ f(x) = x $.

Partie C : Étude d’une suite récurrente

On considère la suite $ (u_n) $ définie par $ u_0 = \frac{1}{2} $ et pour tout entier naturel $ n $, $$ u_{n+1} = f(u_n) = u_n^2 - u_n\ln(u_n). $$

  1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $ n $ : $$ \frac{1}{2} \leq u_n \leq u_{n+1} \leq 1. $$
  2. Justifier que la suite $ (u_n) $ converge.
    On appelle $ \ell $ la limite de la suite $ (u_n) $ et on admet que $ \ell $ vérifie l’égalité $ f(\ell) = \ell $.
  3. Déterminer la valeur de $ \ell $.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Limites de fonctions
Fonctions logarithmes
Continuité
Suites et Limites

Notions détaillées

TVI et corollaire (bijection) Limites : opérations et comparaisons Fonction logarithme népérien Suites récurrentes Étude de fonctions

Solution écrite

Asie 11 juin 2024 - J2

Partie A

  1. Croissances comparées : $x\ln x\to 0$ et $\dfrac{\ln x}{x}\to 0$. $$\lim_{x\to 0^+}f(x)=0\quad;\quad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.$$
    $$\lim_{0^+}f=0\quad;\quad\lim_{+\infty}f=+\infty$$
  2. Dérivée d'un produit et $(\ln x)'=\dfrac{1}{x}$. $$f'(x)=2x-\ln x-1.$$
    $$f'(x)=2x-\ln(x)-1$$
  3. Dériver $f'$. $$f''(x)=2-\dfrac{1}{x}=\dfrac{2x-1}{x}.$$
    $$f''(x)=\dfrac{2x-1}{x}$$
  4. Signe de $f''$ : extremum de $f'$ en $x=\dfrac{1}{2}$. $f'$ décroît sur $\left]0\,;\,\dfrac{1}{2}\right]$ et croît sur $\left[\dfrac{1}{2}\,;\,+\infty\right[$. $$f'\!\left(\dfrac{1}{2}\right)=\ln 2>0.$$
    Minimum de $f'$ : $\ln 2$ en $x=\dfrac{1}{2}$.
  5. Minimum de $f'$ strictement positif. Pour tout $x>0$, $f'(x)\geqslant\ln 2>0$.
    $f$ est strictement croissante sur $]0\,;\,+\infty[$.

Partie B

  1. $g'(x)=\dfrac{x-1}{x}$. $g$ décroît sur $]0\,;\,1]$ et croît sur $[1\,;\,+\infty[$, avec un minimum $g(1)=1$.
    Minimum de $g$ en $x=1$ : $g(1)=1$.
  2. Factoriser $f(x)-x=x\big(g(x)-1\big)$. Comme $x>0$, $f(x)=x\iff g(x)=1\iff x=1$.
    Unique solution : $x=1$.

Partie C

  1. Récurrence et croissance de $f$. $u_1=\dfrac{1}{4}+\dfrac{\ln 2}{2}\approx 0{,}597$, d'où $\dfrac{1}{2}\leqslant u_0\leqslant u_1\leqslant 1$. Si $\dfrac{1}{2}\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 1$, alors $u_1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant 1$ car $f$ est croissante et $f(1)=1$.
    Pour tout $n$, $\dfrac{1}{2}\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 1$.
  2. Théorème de la limite monotone. $(u_n)$ est croissante et majorée par $1$.
    $(u_n)$ converge vers un réel $\ell\in\left[\dfrac{1}{2}\,;\,1\right]$.
  3. Passage à la limite : $f(\ell)=\ell$. D'après B.2, $\ell=1$.
    $$\ell=1$$

Asie 11 juin 2024 - J2