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Exercice 1

Asie • Jour 2 • 10 juin 2026
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Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur $\left]-\infty\,;\,\dfrac{3}{2}\right[$ par : $$f(x)=\dfrac{x-2}{2x-3}$$

  1. Justifier tous les éléments du tableau de variation ci-dessous.
    Tableau de variations de f
  2. En déduire que pour tout $x \in[0\,;\,1]$, on a : $$f(x) \in[0\,;\,1].$$

Partie B

On considère la suite $(u_{n})$ définie par :

$$\begin{cases} u_{0}=0 \\ u_{n+1}=\dfrac{u_{n}-2}{2 u_{n}-3}\,,\quad \text{pour tout entier naturel } n \end{cases}$$
  1. En utilisant la fonction $f$, démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ : $$0 \leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant 1.$$
  2. En déduire que la suite $(u_{n})$ converge.
  3. On note $\ell$ la limite de la suite $(u_{n})$.

    En admettant que $\ell$ est solution de l'équation $f(x)=x$ sur l'intervalle $[0\,;\,1]$, montrer que $\ell=1$.
  4. On donne ci-dessous une fonction seuil écrite en langage Python. 
    def seuil(h):
    n = 0
    u = 0
    while u < 1-h:
        n = n+1
        u = (u-2)/(2*u-3)
    return n
    L'appel seuil(0.0001) renvoie la valeur $5000$.

    Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
    1. Donner les quatre premiers termes de la suite $\left(u_{n}\right)$ sous forme de fractions irréductibles.
    2. Conjecturer l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$ et démontrer cette conjecture.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Suites et Limites
Dérivation et convexité

Notions détaillées

Suites récurrentes Raisonnement par récurrence Étude de fonctions Algorithme Python

Solution écrite

Asie 10 juin 2026 J2

Partie A

  1. $f$ dérivable sur $]-\infty\,;\,\frac{3}{2}[$ comme quotient de polynômes (dénominateur non nul). $$f'(x)=\dfrac{(2x-3)-(x-2)\times 2}{(2x-3)^2}=\dfrac{1}{(2x-3)^2}>0$$ Donc $f$ est strictement croissante sur $]-\infty\,;\,\frac{3}{2}[$. $$\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{1-\frac{2}{x}}{2-\frac{3}{x}}=\dfrac{1}{2}$$ $$\lim_{x\to(\frac{3}{2})^-}f(x)=+\infty\quad\text{(numérateur }\to-\tfrac{1}{2}\text{, dénominateur }\to 0^-)$$
    Tableau de variations justifié : $f$ croissante, $\displaystyle\lim_{-\infty}f=\dfrac{1}{2}$, $\displaystyle\lim_{(\frac{3}{2})^-}f=+\infty$.
  2. $f$ strictement croissante sur $[0\,;\,1]$. $$0\leqslant x\leqslant 1 \implies f(0)\leqslant f(x)\leqslant f(1) \implies \dfrac{2}{3}\leqslant f(x)\leqslant 1$$
    Pour tout $x\in[0\,;\,1]$, $f(x)\in[0\,;\,1]$.

Partie B

  1. Récurrence : propriété $0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 1$.
    • Initialisation : $u_0=0$, $u_1=f(0)=\dfrac{2}{3}$, donc $0\leqslant u_0\leqslant u_1\leqslant 1$.
    • Hérédité : si $0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 1$, alors par croissance de $f$ sur $[0\,;\,1]$ : $f(0)\leqslant f(u_n)\leqslant f(u_{n+1})\leqslant f(1)$, soit $\dfrac{2}{3}\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant 1$, d'où $0\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant 1$.
    Pour tout $n$ : $0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 1$.
  2. $(u_n)$ est croissante et majorée par $1$.
    Par le théorème de convergence monotone, $(u_n)$ converge.
  3. $\ell$ vérifie $f(\ell)=\ell$ sur $[0\,;\,1]$. $$\dfrac{\ell-2}{2\ell-3}=\ell \iff \ell-2=\ell(2\ell-3) \iff 2\ell^2-4\ell+2=0 \iff 2(\ell-1)^2=0$$
    $$\ell=1$$
  4. L'appel seuil(0.0001) renvoie le plus petit entier $n$ tel que $u_n\geqslant 1-10^{-4}$.
    $5000$ est le plus petit entier $n$ tel que $u_n\geqslant 0{,}9999$.
    1. Calculs successifs avec $u_{n+1}=f(u_n)$.
      $$u_0=0,\quad u_1=\dfrac{2}{3},\quad u_2=\dfrac{4}{5},\quad u_3=\dfrac{6}{7}$$
    2. Conjecture : $u_n=\dfrac{2n}{2n+1}$. Récurrence.
      • Initialisation : $\dfrac{0}{1}=0=u_0$.
      • Hérédité : si $u_n=\dfrac{2n}{2n+1}$, alors $$u_{n+1}=f(u_n)=\dfrac{\frac{2n}{2n+1}-2}{2\cdot\frac{2n}{2n+1}-3}=\dfrac{2n+2}{2n+3}=\dfrac{2(n+1)}{2(n+1)+1}$$
      $$u_n=\dfrac{2n}{2n+1}$$

Asie 10 juin 2026 J2