Exercice 4

Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse puis justifier la réponse donnée.
Toute réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.

1. Affirmation 1 : Toute suite décroissante et minorée par 0 converge vers 0.
2. On considère une suite $ (u_n) $ définie sur $ \mathbb{N} $ telle que, pour tout entier $ n $, on a $$ u_n \leq \frac{-9^n + 3^n}{7^n}. $$
   Affirmation 2 : $ \lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty $.
3. On considère la fonction suivante écrite en langage Python :

               def terme(N) :
                   U = 1
                   for i in range(N) :
                       U = U + i
                   return U
               

   Affirmation 3 : terme(4) renvoie la valeur 7.
4. Lors d’un concours, le gagnant a le choix entre deux prix :
   • Prix A : il reçoit 1 000 euros par jour pendant 15 jours ;
   • Prix B : il reçoit 1 euro le 1^er jour, 2 euros le 2^e jour, 4 euros le 3^e jour et pendant 15 jours la somme reçue double chaque jour.
   Affirmation 4 : La valeur du prix A est plus élevée que la valeur du prix B.
5. On considère la suite $ (v_n) $ définie pour tout entier $ n \geq 1 $ par $$ v_n = \int_{1}^{n} \ln x \, dx. $$
   Affirmation 5 : La suite $ (v_n) $ est croissante.