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Exercice 2

Asie • Jour 1 • 10 juin 2024
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  1. Dans l’espace muni d’un repère orthonormé $ ( O ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} ) $ d’unité 1 cm, on considère les points :

    $ A(3 ; -1 ; 1) $, $ B(4 ; -1 ; 0) $, $ C(0 ; 3 ; 2) $, $ D(4 ; 3 ; -2) $ et $ S(2 ; 1 ; 4) $.

    Dans cet exercice on souhaite montrer que $ SABDC $ est une pyramide à base $ ABDC $ trapézoïdale de sommet $ S $, afin de calculer son volume.

  1. Montrer que les points $ A $, $ B $ et $ C $ ne sont pas alignés.
    1. Montrer que les points $ A $, $ B $, $ C $ et $ D $ sont coplanaires.
    2. Montrer que le quadrilatère $ ABDC $ est un trapèze de bases $ [AB] $ et $ [CD] $.
      On rappelle qu’un trapèze est un quadrilatère ayant deux côtés opposés parallèles appelés bases.
    1. Démontrer que le vecteur $ \overrightarrow{n} (2 ; 1 ; 2) $ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
    2. En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
    3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $ \Delta $ passant par le point $ S $ et orthogonale au plan $(ABC)$.
    4. On note $ I $ le point d’intersection de la droite $ \Delta $ et du plan $(ABC)$.
      Montrer que le point $ I $ a pour coordonnées $ \Big( \dfrac{2}{3} ;~\dfrac{1}{3} ;~\dfrac{8}{3} \Big) $, puis montrer que $ SI = 2 $ cm.
    1. Vérifier que le projeté orthogonal $ H $ du point $ B $ sur la droite $(CD)$ a pour coordonnées $ H(3 ; 3 ; -1) $ et montrer que $ HB = 3 \sqrt{2} $ cm.
    2. Calculer la valeur exacte de l’aire du trapèze $ ABDC $.
      On rappelle que l’aire d’un trapèze est donnée par la formule$ $$\mathcal{A} = \dfrac{b + B}{2} \times h $$ où $ b $ et $ B $ sont les longueurs des bases du trapèze et $ h $ sa hauteur.
  5. Déterminer le volume de la pyramide $ SABDC $.
    On rappelle que le volume $ V $ d’une pyramide est donné par la formule $$ V = \frac{1}{3} \times \text{aire de la base} \times \text{hauteur} $$.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Géométrie dans l'espace: partie 1
Géométrie dans l'espace: partie 2

Notions détaillées

Équations de plans Orthogonalité dans l'espace Distances et angles dans l’espace

Solution écrite

Asie 10 juin 2024 - J1

  1. Vecteurs non colinéaires $\iff$ points non alignés. $$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix},\quad \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-3\\4\\1\end{pmatrix}.$$ Ces vecteurs ne sont pas proportionnels (composantes nulles distinctes).
    $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
    1. Relation de dépendance linéaire entre $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}$. $$\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix}1\\4\\-3\end{pmatrix}=\overrightarrow{AC}+4\overrightarrow{AB}.$$
      $A$, $B$, $C$ et $D$ sont coplanaires.
    2. Côtés opposés parallèles. $$\overrightarrow{DC}=4\overrightarrow{AB}$$ donc $(AB)\parallel(CD)$.
      $ABDC$ est un trapèze de bases $[AB]$ et $[CD]$.
    1. Orthogonalité à deux vecteurs non colinéaires du plan. $$\vec{n}\cdot\overrightarrow{AB}=0$$ et $$\vec{n}\cdot\overrightarrow{AC}=0.$$
      $\vec{n}(2\,;\,1\,;\,2)$ est normal à $(ABC)$.
    2. Équation $2x+y+2z+d=0$ et passage par $A$. $A(3\,;-1\,;1)$ donne $d=-7$.
      $$2x+y+2z-7=0$$
    3. Droite passant par $S$ de vecteur directeur $\vec{n}$.
      $$\begin{cases}x=2+2t\\y=1+t\\z=4+2t\end{cases}\quad(t\in\mathbb{R})$$
    4. Intersection $\Delta\cap(ABC)$ puis distance $SI$. Pour $t=-\dfrac{2}{3}$ on obtient $I\!\left(\dfrac{2}{3}\,;\,\dfrac{1}{3}\,;\,\dfrac{8}{3}\right)$, qui vérifie l'équation du plan. $$SI=\sqrt{\left(-\dfrac{4}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{4}{3}\right)^2}=2.$$
      $$I\!\left(\dfrac{2}{3}\,;\,\dfrac{1}{3}\,;\,\dfrac{8}{3}\right)\quad;\quad SI=2\text{ cm}$$
    1. Vérifier $H\in(CD)$ et $\overrightarrow{BH}\perp\overrightarrow{CD}$. $$\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{CD}=0$$ et $\overrightarrow{CH}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{CD}$. $$HB=\sqrt{1+16+1}=3\sqrt{2}.$$
      $$H(3\,;\,3\,;-1)\quad;\quad HB=3\sqrt{2}\text{ cm}$$
    2. Aire du trapèze : $\mathcal{A}=\dfrac{b+B}{2}\times h$. $$AB=\sqrt{2},\quad CD=4\sqrt{2},\quad h=3\sqrt{2}.$$ $$\mathcal{A}=\dfrac{\sqrt{2}+4\sqrt{2}}{2}\times 3\sqrt{2}=15.$$
      $$\mathcal{A}=15\text{ cm}^2$$
  5. Volume $V=\dfrac{1}{3}\times\text{aire de base}\times\text{hauteur}$. $$V=\dfrac{1}{3}\times 15\times 2=10.$$
    $$V=10\text{ cm}^3$$

Asie 10 juin 2024 - J1