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Exercice 1

Asie • Jour 1 • 10 juin 2024
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Partie A

On considère une fonction $ f $ définie sur $ [0 ; +\infty[ $, représentée par la courbe $C_f$ ci-dessous.
La droite $ T $ est tangente à la courbe $C_f$ au point $ A $ d'abscisse $\dfrac{5}{2}$.

  1. Dresser, par lecture graphique, le tableau des variations de la fonction $ f $ sur l’intervalle $ [0 ; 5] $.
  2. Que semble présenter la courbe $C_f$ au point $ A $ ?
  3. La dérivée $ f' $ et la dérivée seconde $ f'' $ de la fonction $ f $ sont représentées par les courbes ci-dessous.
    Associer à chacune de ces deux fonctions la courbe qui la représente.
    Ce choix sera justifié.

    1. La courbe $C_3 $ ci-contre peut-elle être la représentation graphique sur $ [0 ; +\infty[ $ d’une primitive de la fonction $f$ ? Justifier.

Partie B

Dans cette partie, on considère que la fonction $ f $, définie et deux fois dérivable sur $ [0 ; +\infty[ $, est définie par : $$ f(x) = (4x - 2)e^{-x+1}. $$

On notera respectivement $ f' $ et $ f'' $ la dérivée et la dérivée seconde de la fonction $ f $.

  1. Étude de la fonction $ f $
    1. Montrer que $ f'(x) = (-4x + 6)e^{-x+1} $.
    2. Utiliser ce résultat pour déterminer le tableau complet des variations de la fonction $ f $ sur $ [0 ; +\infty[ $. On admet que $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0 $.
    3. Étudier la convexité de la fonction $ f $ et préciser l'abscisse d'un éventuel point d'inflexion de la courbe représentative de $ f $.
  2. On considère une fonction $ F $ définie sur $ [0 ; +\infty[ $ par $ F(x) = (ax + b)e^{-x+1} $, où $ a $ et $ b $ sont deux nombres réels.
    1. Déterminer les valeurs des réels $ a $ et $ b $ telles que la fonction $ F $ soit une primitive de la fonction $ f $ sur $ [0 ; +\infty[ $.
    2. On admet que $ F(x) = (-4x - 2)e^{-x+1} $ est une primitive de la fonction $ f $ sur $ [0 ; +\infty[ $.
      En déduire la valeur exacte, puis une valeur approchée à $ 10^{-2} $ près, de l'intégrale $$ I = \int_{\frac{3}{2}}^{8} f(x) \, dx. $$

    1. Une municipalité a décidé de construire une piste de trottinette freestyle.
      Le profil de cette piste est donné par la courbe représentative de la fonction $ f $ sur l'intervalle $ [\dfrac{3}{2} ; 8] $.
      L'unité de longueur est le mètre.

    1. Donner une valeur approchée au cm près de la hauteur du point de départ $ D $.
    2. La municipalité a organisé un concours de graffiti pour orner le mur de profil de la piste. L'artiste retenue prévoit de couvrir environ 75 % de la surface du mur.
      Sachant qu'une bombe aérosol de 150 mL permet de couvrir une surface de 0,8 m$ ^2 $, déterminer le nombre de bombes qu'elle devra utiliser pour réaliser cette œuvre.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Calcul intégral
Limites de fonctions
Dérivation et convexité

Notions détaillées

Lectures graphiques Convexité et dérivée seconde Point d'inflexion Fonction exponentielle Théorème fondamental de l’intégration Étude de fonctions

Solution écrite

Asie 10 juin 2024 - J1

Partie A

  1. Lecture graphique des variations sur $[0\,;\,5]$. La fonction $f$ croît sur $[0\,;\,1{,}5]$, atteint un maximum en $x=1{,}5$, puis décroît sur $[1{,}5\,;\,5]$.
    Maximum en $x=\dfrac{3}{2}$ ; croissante puis décroissante.
  2. Tangente $T$ au point $A$ d'abscisse $\dfrac{5}{2}$. La courbe change de concavité au voisinage de $A$.
    $A$ semble être un point d'inflexion de $\mathcal{C}_f$.
  3. Signe de $f'$ et lien avec la convexité via $f''$. $f$ croît puis décroît : $f'$ est positive sur $[0\,;\,1{,}5]$ puis négative ; elle correspond à $\mathcal{C}_2$. La courbe $\mathcal{C}_1$ s'annule en changeant de signe en $x=\dfrac{5}{2}$, ce qui est compatible avec $f''$.
    $f'\leftrightarrow\mathcal{C}_2$ et $f''\leftrightarrow\mathcal{C}_1$.
  4. Une primitive a pour dérivée $f$ : elle décroît là où $f\leqslant 0$. Graphiquement $f$ est négative sur $[0\,;\,0{,}5]$, donc toute primitive décroît sur cet intervalle. Ce n'est pas le cas de $\mathcal{C}_3$.
    Non, $\mathcal{C}_3$ ne peut pas être une primitive de $f$.

Partie B

    1. Produit $(u v)'=u'v+uv'$ avec $u=4x-2$ et $v=e^{-x+1}$. $$f'(x)=4e^{-x+1}+(4x-2)(-1)e^{-x+1}=(4-4x+2)e^{-x+1}=(-4x+6)e^{-x+1}.$$
      $$f'(x)=(-4x+6)e^{-x+1}$$
    2. $e^{-x+1}>0$ : le signe de $f'$ est celui de $-4x+6$. $-4x+6=0\iff x=\dfrac{3}{2}$. Ainsi $f'>0$ sur $\left[0\,;\,\dfrac{3}{2}\right[$ et $f'<0$ sur $\left]\dfrac{3}{2}\,;\,+\infty\right[$. De plus $f(0)=-2e$, $f\!\left(\dfrac{3}{2}\right)=4e^{-1/2}$ et $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$.
      Maximum en $x=\dfrac{3}{2}$ ; $f$ croît puis décroît vers $0$.
    3. Dériver $f'$ : $f''(x)=(4x-10)e^{-x+1}$. $f''(x)=0\iff x=\dfrac{5}{2}$. Donc $f$ est concave sur $\left[0\,;\,\dfrac{5}{2}\right]$ et convexe sur $\left[\dfrac{5}{2}\,;\,+\infty\right[$.
      Point d'inflexion d'abscisse $\dfrac{5}{2}$.
    1. Identifier $F'=f$ : $F'(x)=(-ax+a-b)e^{-x+1}$. On veut $-a=4$ et $a-b=-2$, d'où $a=-4$ et $b=-2$.
      $$a=-4\quad;\quad b=-2$$
    2. Théorème fondamental : $I=F(8)-F\!\left(\dfrac{3}{2}\right)$. $$I=-34e^{-7}+8e^{-1/2}\approx 4{,}82.$$
      $$I=-34e^{-7}+8e^{-1/2}\approx 4{,}82$$
    1. Hauteur de $D$ : $f\!\left(\dfrac{3}{2}\right)$. $$f\!\left(\dfrac{3}{2}\right)=4e^{-1/2}\approx 2{,}43\text{ m}=243\text{ cm}.$$
      Hauteur $\approx 243$~cm.
    2. Aire du mur $=I$ ; $75\,\%$ à couvrir ; $0{,}8$~m$^2$ par bombe. Surface à peindre : $0{,}75\times I\approx 3{,}62$~m$^2$. Or $4\times 0{,}8=3{,}2<3{,}62\leqslant 4=5\times 0{,}8$.
      Il faut $5$ bombes aérosol.

Asie 10 juin 2024 - J1