Partie A : dénombrement
On considère l'ensemble des entiers relatifs non nuls compris entre $-30$ et $30$. Il comporte $60$ éléments.
On choisit successivement et sans remise un entier relatif $a$ puis un entier relatif $c$.
- Combien de couples $(a~;~c)$ différents peut-on obtenir ?
- Montrer que l'évènement $M$ : « l'équation $ax^2+2x+c=0$ possède deux solutions réelles distinctes » a lieu si et seulement si $ac<1$.
- Expliquer pourquoi l'évènement contraire $\overline M$ comporte $1740$ issues.
- Quelle est la probabilité de l'évènement $M$ ? Arrondir à $10^{-2}$.
Partie B : équation différentielle
On considère l'équation différentielle :
$$y'+10y=(30x^2+22x-8)e^{-5x+1}.$$
- Résoudre sur $\mathbb R$ l'équation différentielle $y'+10y=0$.
- Soit $f(x)=(6x^2+2x-2)e^{-5x+1}$. Justifier que $f$ est une solution particulière de $(E)$.
- Donner l'expression de toutes les solutions de $(E)$.
Partie C : étude de fonction
On étudie la fonction :
$$f(x)=(6x^2+2x-2)e^{-5x+1}.$$
- On admet que $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$. Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$.
- En utilisant la partie A, montrer que $\mathcal C_f$ coupe l'axe des abscisses en deux points.
- En utilisant les parties A et B, montrer que $\mathcal C_f$ possède deux tangentes horizontales.
- Dresser le tableau de variation complet de $f$.
- Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=1$.
- Pour tout réel $m>0,2$, on définit :
$$I_m=\int_{0,2}^mf(x)\,\mathrm dx.$$
- Vérifier que la fonction
$$F(x)=\left(-\dfrac65x^2-\dfrac{22}{25}x+\dfrac{28}{125}\right)e^{-5x+1}$$
est une primitive de $f$.
- Existe-t-il une valeur de $m$ pour laquelle $I_m=0$ ? Interpréter graphiquement.