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Exercice 3

Amérique du Sud • Jour 2 • 14 novembre 2025
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Exercice 3

On considère les suites $(v_n)$ et $(w_n)$ définies pour tout entier naturel $n$ par :

$$v_0=\ln(4),\quad v_{n+1}=\ln(-1+2e^{v_n})$$

et

$$w_n=-1+e^{v_n}.$$

On admet que la suite $(v_n)$ est bien définie et strictement positive.

  1. Donner les valeurs exactes de $v_1$ et $w_0$.
    1. Parmi les trois formules proposées, choisir celle qui permet d'obtenir les valeurs de $(v_n)$ dans la colonne B.
    2. Conjecturer le sens de variation de la suite $(v_n)$.
    3. À l'aide d'un raisonnement par récurrence, valider cette conjecture.
    1. Démontrer que la suite $(w_n)$ est géométrique.
    2. En déduire que, pour tout entier naturel $n$ : $$v_n=\ln(1+3\times2^n).$$
    3. Déterminer la limite de la suite $(v_n)$.
  4. Justifier que l'algorithme seuil(S) renvoie un résultat quel que soit le choix de la valeur du nombre $S$.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Suites et Limites
Fonctions logarithmes

Notions détaillées

Fonction logarithme népérien Suites géométriques Limite de suites Suites récurrentes Raisonnement par récurrence Algorithme Python

Solution écrite

Amérique du Sud 14 novembre 2025 J2

Exercice 3

  1. Application directe des définitions. $$v_1=\ln(-1+2e^{\ln4})=\ln7,\quad w_0=-1+e^{\ln4}=3.$$
    $$v_1=\ln7\quad\text{et}\quad w_0=3$$
    1. Traduction tableur de $v_{n+1}=\ln(-1+2e^{v_n})$.
      Formule 2 : =LN(-1+2*EXP(B2)).
    2. Conjecture numérique.
      $(v_n)$ est strictement croissante.
    3. Récurrence ; $v_{n+1}-v_n=\ln(2-e^{-v_n})>0$ car $v_n>0$.
      Croissance démontrée par récurrence.
    1. Calcul de $w_{n+1}$ à partir de $v_{n+1}$. $$w_{n+1}=-1+e^{v_{n+1}}=-1+(-1+2e^{v_n})=2w_n.$$
      $(w_n)$ géométrique de raison $2$, premier terme $w_0=3$.
    2. Expression explicite ; passage au logarithme. $$w_n=3\times2^n\Rightarrow v_n=\ln(1+3\times2^n).$$
      $$v_n=\ln(1+3\times2^n)$$
    3. Limite du logarithme d'une suite tendant vers $+\infty$.
      $$\lim_{n\to+\infty}v_n=+\infty$$
  4. Définition de la divergence vers $+\infty$. Comme $v_n\to+\infty$, pour tout réel $S$ il existe un rang tel que $v_n\geqslant S$.
    L'algorithme seuil(S) renvoie toujours un résultat.

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