On étudie la concentration dans le sang d'un médicament ingéré pour la première fois.
Soit $t$ le temps, en heures, écoulé depuis l'ingestion. La concentration, en gramme par litre de sang, est modélisée par une fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$.
Partie A : lectures graphiques
- Donner le temps écoulé entre l'ingestion et l'instant où la concentration est maximale.
- Donner l'ensemble des solutions de l'inéquation $f(t)\geqslant1$.
- Donner la convexité de $f$ sur $[0~;~8]$.
Partie B : détermination de la fonction $f$
On considère l'équation différentielle :
$$y'+y=5e^{-t}.$$
- Résoudre l'équation différentielle $y'+y=0$.
- Soit $u(t)=ate^{-t}$. Déterminer $a$ pour que $u$ soit solution de $(E)$.
- En déduire l'ensemble des solutions de $(E)$.
- Comme la personne n'a pas pris ce médicament auparavant, on admet que $f(0)=0$. Déterminer l'expression de $f$.
Partie C : étude de $f$
On admet que $f(t)=5te^{-t}$.
- Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ et interpréter ce résultat.
- Étudier les variations de $f$ sur $[0~;~+\infty[$ puis dresser son tableau de variation complet.
- Démontrer qu'il existe deux réels $t_1$ et $t_2$ tels que $f(t_1)=f(t_2)=1$. Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ de ces réels.
- Pour une concentration supérieure ou égale à $1$ g/L, il y a un risque de somnolence. Quelle est la durée du risque ?
Partie D : concentration moyenne
La concentration moyenne durant la première heure est :
$$T_m=\int_0^1f(t)\,\mathrm dt.$$
Calculer cette concentration moyenne. Donner la valeur exacte puis une valeur approchée à $0,01$ près.