Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée.
- Deux équipes de footballeurs de $22$ et $25$ joueurs échangent une poignée de main à la fin d'un match. Chaque joueur d'une équipe serre une seule fois la main de chaque joueur de l'autre équipe.
Affirmation 1 : $47$ poignées de mains ont été échangées.
- Une course oppose $18$ concurrents. On récompense indistinctement les trois premiers en offrant le même prix à chacun.
Affirmation 2 : Il y a $4896$ possibilités de distribuer ces prix.
- Sept sportifs participent à une compétition permettant d'établir un podium ordonné. Jacques est l'un d'entre eux.
Affirmation 3 : Il y a $90$ podiums différents dont Jacques fait partie.
- Soient $X_1$ et $X_2$ deux variables aléatoires indépendantes de même loi, prenant les valeurs $-2$, $-1$, $2$, $5$ avec probabilités $0,1$, $0,4$, $0,3$, $0,2$. On pose $Y=X_1+X_2$.
Affirmation 4 : $P(Y=4)=0,25$.
- Un nageur effectue $20$ parcours. On note $X\sim\mathcal B(20~;~0,85)$ le nombre de fois où il nage en moins de $25$ secondes.
Affirmation 5 : Sachant qu'il a atteint au moins $15$ fois son objectif, une valeur approchée à $10^{-3}$ de la probabilité qu'il l'ait atteint au moins $18$ fois est $0,434$.