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Exercice 1

Amérique du Sud • Jour 1 • 13 novembre 2025
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Exercice 1

Un étudiant mange tous les jours au restaurant universitaire, qui propose des plats végétariens et non végétariens.

  • Lorsqu'un jour donné il a choisi un plat végétarien, la probabilité qu'il choisisse un plat végétarien le lendemain est $0,9$.
  • Lorsqu'un jour donné il a choisi un plat non végétarien, la probabilité qu'il choisisse un plat végétarien le lendemain est $0,7$.

Pour tout entier naturel $n$, on note $V_n$ l'évènement « l'étudiant a choisi un plat végétarien le $n$-ième jour » et $p_n=P(V_n)$.

Le jour de la rentrée, il a choisi le plat végétarien, donc $p_1=1$.

    1. Indiquer la valeur de $p_2$.
    2. Montrer que $p_3=0,88$.
    3. Sachant que le troisième jour l'étudiant a choisi un plat végétarien, quelle est la probabilité qu'il ait choisi un plat non végétarien le jour précédent ?
  2. Recopier et compléter l'arbre pondéré.
  3. Justifier que, pour tout entier naturel $n\geqslant1$ : $$p_{n+1}=0,2p_n+0,7.$$
  4. On souhaite disposer de la liste des premiers termes de $(p_n)$.
    1. Lequel des trois programmes proposés permet d'afficher les $n$ premiers termes de la suite ?
    2. Avec le programme choisi, donner le résultat affiché pour $n=5$.
  5. Démontrer par récurrence que, pour tout naturel $n\geqslant1$ : $$p_n=0,125\times0,2^{n-1}+0,875.$$
  6. En déduire la limite de la suite $(p_n)$.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Probabilités Conditionnelles
Suites et Limites

Notions détaillées

Limite de suites Suites récurrentes Raisonnement par récurrence Formule des probabilités totales Arbres pondérés Algorithme Python

Solution écrite

Amérique du Sud 13 novembre 2025 J1

Exercice 1

    1. Transition depuis un plat végétarien. Comme $p_1=1$, $p_2=0,9$.
      $$p_2=0,9$$
    2. Probabilités totales conditionnées par $V_2$. $$p_3=0,9\times0,9+0,1\times0,7=0,88.$$
      $$p_3=0,88$$
    3. Formule de Bayes. $$P_{V_3}(\overline{V_2})=\dfrac{0,1\times0,7}{0,88}\approx0,080.$$
      $$P_{V_3}(\overline{V_2})\approx0,080$$
  2. Branches de transition entre les jours $n$ et $n+1$. $P(V_{n+1}|V_n)=0,9$, $P(\overline{V_{n+1}}|V_n)=0,1$, $P(V_{n+1}|\overline{V_n})=0,7$, $P(\overline{V_{n+1}}|\overline{V_n})=0,3$.
    Arbre complété.
  3. Probabilités totales. $$p_{n+1}=0,9p_n+0,7(1-p_n)=0,2p_n+0,7.$$
    $$p_{n+1}=0,2p_n+0,7$$
    1. Lecture des trois programmes proposés.
      Le programme 1.
    2. Itération de la relation de récurrence. Pour $n=5$ : $[1\,;\,0,9\,;\,0,88\,;\,0,876\,;\,0,8752]$.
      $$[1\,;\,0,9\,;\,0,88\,;\,0,876\,;\,0,8752]$$
  5. Récurrence : initialisation et hérédité via $p_{n+1}=0,2p_n+0,7$. On vérifie $p_n=0,125\times0,2^{n-1}+0,875$.
    Formule démontrée par récurrence.
  6. Limite : $0,2^{n-1}\to0$. $$\lim_{n\to+\infty}p_n=0,875.$$
    À long terme, la probabilité de choisir un plat végétarien tend vers $0,875$.

Amérique du Sud 13 novembre 2025 J1