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Exercice 3

Amérique du Nord • Jour 2 • 22 mai 2025
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Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée.

Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

PARTIE A

ABCDEFGH est un cube d'arête de longueur 1.
Les points I, J, K, L et M sont les milieux respectifs des arêtes [AB], [BF], [AE], [CD] et [DH].

Affirmation 1 : « $\vec{\text{JH}} = 2\vec{\text{BI}} + \vec{\text{DM}} - \vec{\text{CB}}$ »

Affirmation 2 : « Le triplet de vecteurs $\left(\vec{\text{AB}},~\vec{\text{AH}},~\vec{\text{AG}}\right)$ est une base de l'espace. »

Affirmation 3 : « $\vec{\text{IB}} \cdot \vec{\text{LM}} = - \dfrac{1}{4}$. »

PARTIE B

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère :

  • le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $2x - y + 3z + 6 = 0$
  • les points A$(2~;~0~;~-1)$ et B$(5~;~-3~;~7)$

Affirmation 4 : « Le plan $\mathcal{P}$ et la droite (AB) sont parallèles. »

Affirmation 5 : « Le plan $\mathcal{P}'$ parallèle à $\mathcal{P}$ passant par B a pour équation cartésienne $-2x + y - 3z + 34 = 0$ »

Affirmation 6 : « La distance du point A au plan $\mathcal{P}$ est égale à $\dfrac{\sqrt{14}}{2}$. »

On note $(d)$ la droite de représentation paramétrique

$$\left\{\begin{array}{l c l} x &=&-12 + 2k\\ y &=&6\\ z &=&3 - 5k \end{array}\right., \text{où}\, k \in \mathbb{R}$$

Affirmation 7 : « Les droites (AB) et $(d)$ ne sont pas coplanaires. »

Concepts abordés

Chapitres principaux

Géométrie dans l'espace: partie 1
Géométrie dans l'espace: partie 2

Notions détaillées

Produit scalaire dans l’espace Équations de plans Représentation paramétrique de droites Orthogonalité dans l'espace Distances et angles dans l’espace

Solution écrite

Amérique du Nord 22 mai 2025 J2

Partie A

Affirmation 1

Relation de Chasles dans le cube (milieux).

$2\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{JK}$, $\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{KE}$ et $-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{EH}$, donc

$$2\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{DM}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{JK}+\overrightarrow{KE}+\overrightarrow{EH}=\overrightarrow{JH}.$$
VRAIE.

Affirmation 2

Une base de l'espace est formée de trois vecteurs linéairement indépendants.

Dans le repère $(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})$ : $\overrightarrow{AB}=(1;0;0)$, $\overrightarrow{AH}=(0;1;1)$, $\overrightarrow{AG}=(1;1;1)$.

Or $\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AH}$ : les trois vecteurs sont liés.

FAUSSE — le triplet n'est pas une base.

Affirmation 3

Produit scalaire dans un repère orthonormé.

$I(\frac12;0;0)$, $B(1;0;0)$, $L(\frac12;1;0)$, $M(0;1;\frac12)$.

$$\overrightarrow{IB}=(\tfrac12;0;0),\quad \overrightarrow{LM}=(-\tfrac12;0;\tfrac12)$$ $$\overrightarrow{IB}\cdot\overrightarrow{LM}=\tfrac12\times(-\tfrac12)=-\dfrac14.$$
VRAIE.

Partie B

Affirmation 4

$(AB)\parallel\mathcal{P}$ ssi $\overrightarrow{AB}\perp\vec{n}_{\mathcal{P}}$. $$\overrightarrow{AB}=(3;-3;8),\quad \vec{n}=(2;-1;3)$$ $$\overrightarrow{AB}\cdot\vec{n}=6+3+24=33\neq 0.$$
FAUSSE — $(AB)$ n'est pas parallèle à $\mathcal{P}$.

Affirmation 5

Plans parallèles : normales colinéaires ; puis vérification que $B$ appartient au plan.

$\vec{n}'=(-2;1;-3)=-\vec{n}$ : les plans sont parallèles. De plus $-2\times 5+(-3)-3\times 7+34=0$, donc $B$ est sur le plan proposé.

VRAIE.

Affirmation 6

Distance d'un point à un plan : $d=\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$. $$d(A,\mathcal{P})=\dfrac{|4+0-3+6|}{\sqrt{4+1+9}}=\dfrac{7}{\sqrt{14}}=\dfrac{\sqrt{14}}{2}.$$
VRAIE.

Affirmation 7

On cherche un point d'intersection des droites $(AB)$ et $(d)$.

Paramétrage de $(AB)$ : $(2+3t;-3t;-1+8t)$. Système avec $(d)$ :

$$-3t=6\implies t=-2,\quad k=4,$$ et la troisième équation est vérifiée. Les droites sont sécantes, donc coplanaires.
FAUSSE — les droites sont coplanaires (sécantes).

Amérique du Nord 22 mai 2025 J2