4

Exercice 4

Amérique du Nord • Jour 2 • 22 mai 2024
Connectez-vous pour suivre vos progrès

Soit $ a $ un réel strictement positif.
On considère la fonction $ f $ définie sur l’intervalle $ ]0 ; +\infty[ $ par : $$f(x) = a\ln(x).$$

On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
Soit $ x_0 $ un réel strictement supérieur à 1.

  1. Déterminer l’abscisse du point d’intersection de la courbe $C_f$ et de l’axe des abscisses.
  2. Vérifier que la fonction $ F $ définie par $ F(x) = a[x\ln(x) - x] $ est une primitive de la fonction $ f $ sur l’intervalle $ ]0 ; +\infty[ $.
  3. En déduire l’aire du domaine bleuté en fonction de $ a $ et de $ x_0 $.

    4. On note $ T $ la tangente à la courbe $C_f$ au point $ M $ d’abscisse $ x_0 $.
    On appelle $ A $ le point d’intersection de la tangente $ T $ avec l’axe des ordonnées et $ B $ le projeté orthogonal de $ M $ sur l’axe des ordonnées.

  4. Démontrer que la longueur $ AB $ est égale à une constante (c’est-à-dire à un nombre qui ne dépend pas de $ x_0 $) que l’on déterminera.

    Le candidat prendra soin d’expliciter sa démarche.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Calcul intégral
Fonctions logarithmes

Notions détaillées

Fonction logarithme népérien Théorème fondamental de l’intégration Primitives et linéarité Étude de fonctions

Solution écrite

Amérique du Nord 22 mai 2024 - J2

  1. Équation $a\ln(x)=0$ avec $a>0$. $$f(x)=0\iff \ln(x)=0\iff x=1.$$
    L'abscisse d'intersection est $1$.
  2. Dérivation de $F$. $$F'(x)=a\left(\ln(x)+x\cdot\dfrac{1}{x}-1\right)=a\ln(x)=f(x).$$
    $F$ est bien une primitive de $f$ sur $]0\,;\,+\infty[$.
  3. Aire = intégrale de $f$ (positive sur $[1\,;\,x_0]$). $$\mathcal{A}=\int_1^{x_0}f(x)\,\mathrm dx=[F(x)]_1^{x_0}=a\big(x_0\ln(x_0)-x_0+1\big).$$
    $$\mathcal{A}=a\big(x_0\ln(x_0)-x_0+1\big)$$
  4. Équation de la tangente en $x_0$, puis $|y_B-y_A|$. $$f'(x)=\dfrac{a}{x},\quad T:\; y=a\ln(x_0)+\dfrac{a}{x_0}(x-x_0).$$ Ordonnée de $A$ : $y_A=a\ln(x_0)-a$. Ordonnée de $B$ : $y_B=a\ln(x_0)$. $$AB=|y_B-y_A|=a.$$
    $$AB=a$$
    Constante indépendante de $x_0$.

Amérique du Nord 22 mai 2024 - J2