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Exercice 3

Amérique du Nord • Jour 2 • 22 mai 2024
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On considère la fonction $ g $ définie sur l’intervalle $ [0 ; 1] $ par : $$ g(x) = 2x - x^2. $$

  1. Montrer que la fonction $ g $ est strictement croissante sur l’intervalle $ [0 ; 1] $ et préciser les valeurs de $ g(0) $ et de $ g(1) $.
  2. On considère la suite $ (u_n) $ définie par $$ \begin{cases} u_0 = \frac{1}{2} \\ u_{n+1} = g(u_n) \end{cases} $$ pour tout entier naturel $ n $.
    1. Calculer $ u_1 $ et $ u_2 $.
    2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $ n $, on a : $ 0 < u_n < u_{n+1} < 1 $.
    3. En déduire que la suite $ (u_n) $ est convergente.
    4. Déterminer la limite $ \ell $ de la suite $ (u_n) $.
  3. On considère la suite $ (v_n) $ définie pour tout entier naturel $ n $ par $ v_n = \ln(1 - u_n) $.
    1. Démontrer que la suite $ (v_n) $ est une suite géométrique de raison 2 et préciser son premier terme.
    2. En déduire une expression de $ v_n $ en fonction de $ n $.
    3. En déduire une expression de $ u_n $ en fonction de $ n $ et retrouver la limite déterminée à la question 5.
  4. Recopier et compléter le script Python ci-dessous afin que celui-ci renvoie le rang $ n $ à partir duquel la suite dépasse 0,95.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Suites et Limites
Fonctions logarithmes

Notions détaillées

Fonction logarithme népérien Suites géométriques Limite de suites Suites récurrentes Raisonnement par récurrence

Solution écrite

Amérique du Nord 22 mai 2024 - J2

  1. Signe de $g'$. $$g'(x)=2-2x=2(1-x)\geqslant 0$$ sur $[0\,;\,1]$, et $g'$ ne s'annule qu'en $x=1$. Donc $g$ est strictement croissante.
    $$g(0)=0\quad\text{et}\quad g(1)=1$$
    1. Application de $g$. $$u_1=g\!\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{3}{4},\qquad u_2=g\!\left(\dfrac{3}{4}\right)=\dfrac{15}{16}.$$
      $$u_1=\dfrac{3}{4}\quad\text{et}\quad u_2=\dfrac{15}{16}$$
    2. Démonstration par récurrence. Initialisation : $0<u_0<u_1<1$.
      Hérédité : si $0<u_n<u_{n+1}<1$, la stricte croissance de $g$ donne $0<u_{n+1}<u_{n+2}<1$.
      Pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $$0<u_n<u_{n+1}<1.$$
    3. Suite croissante et majorée. $(u_n)$ est croissante et majorée par $1$, donc convergente.
      $(u_n)$ converge.
    4. Passage à la limite : $\ell=g(\ell)$. $$\ell=2\ell-\ell^2\iff \ell(1-\ell)=0.$$ Comme $(u_n)$ est croissante et $u_0=\dfrac{1}{2}>0$, on a $\ell=1$.
      $$\ell=1$$
    1. Simplification de $1-u_{n+1}$. $$v_{n+1}=\ln(1-u_{n+1})=\ln\big((1-u_n)^2\big)=2v_n.$$ $$v_0=\ln\!\left(1-\dfrac{1}{2}\right)=-\ln 2.$$
      $(v_n)$ géométrique de raison $2$, $v_0=-\ln 2$.
    2. Forme explicite d'une suite géométrique. $$v_n=v_0\times 2^{n}=-(\ln 2)\,2^{n}.$$
      $$v_n=-(\ln 2)\,2^{n}$$
    3. Passage à l'exponentielle. $$u_n=1-e^{v_n}=1-e^{-(\ln 2)\,2^{n}}=1-2^{-2^{n}}.$$ Or $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}e^{v_n}=0$, donc $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=1$.
      $$u_n=1-2^{-2^{n}}\quad\text{et}\quad\lim_{n\to+\infty}u_n=1$$
  4. Boucle while tant que $u<0{,}95$. 
    def seuil():
    n = 0
    u = 0.5
    while u < 0.95:
        n = n + 1
        u = 2*u - u**2
    return n
    Script complété comme ci-dessus.

Amérique du Nord 22 mai 2024 - J2