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Exercice 2

Amérique du Nord • Jour 2 • 22 mai 2024
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On considère le pavé droit ABCDEFGH tel que $ AB = 3 $ et $ AD = AE = 1 $ représenté ci-dessous.

On considère le point I du segment $ [AB] $ tel que $ \overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AI} $ et on appelle M le milieu du segment $ [CD] $.
On se place dans le repère orthonormé $ ( A ; \overrightarrow{AI}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE} ) $.

  1. Sans justifier, donner les coordonnées des points F, H et M.
    1. Montrer que le vecteur $ \overrightarrow{n} \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix} $ est un vecteur normal au plan (HMF).
    2. En déduire qu’une équation cartésienne du plan (HMF) est : $$ 2x + 6y + 3z - 9 = 0. $$
    3. Le plan $ \mathcal{P} $ dont une équation cartésienne est $ 5x + 15y - 3z + 7 = 0 $ est-il parallèle au plan (HMF) ? Justifier la réponse.
  3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (DG).
  4. On appelle N le point d’intersection de la droite (DG) avec le plan (HMF). Déterminer les coordonnées du point N.
  5. Le point R de coordonnées $ \left( 3; \frac{1}{4}; \frac{1}{2} \right) $ est-il le projeté orthogonal du point G sur le plan (HMF) ? Justifier la réponse.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Géométrie dans l'espace: partie 2
Géométrie dans l'espace: partie 1

Notions détaillées

Produit scalaire dans l’espace Équations de plans Représentation paramétrique de droites Orthogonalité dans l'espace Distances et angles dans l’espace

Solution écrite

Amérique du Nord 22 mai 2024 - J2

  1. Lecture des coordonnées dans le repère $(A\,;\,\overrightarrow{AI}\,;\,\overrightarrow{AD}\,;\,\overrightarrow{AE})$.
    $$F(3\,;\,0\,;\,1),\quad H(0\,;\,1\,;\,1),\quad M\!\left(\dfrac{3}{2}\,;\,1\,;\,0\right)$$
    1. Orthogonalité à deux vecteurs non colinéaires du plan. $\overrightarrow{HF}\begin{pmatrix}3\\-1\\0\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{MF}\begin{pmatrix}1{,}5\\-1\\1\end{pmatrix}$ : $\vec{n}\cdot\overrightarrow{HF}=0$ et $\vec{n}\cdot\overrightarrow{MF}=0$.
      $\vec{n}$ est normal au plan $(HMF)$.
    2. Passage par $H$ pour déterminer la constante. $$2x+6y+3z+d=0$$ et $H\in(HMF)$ donnent $d=-9$.
      $$2x+6y+3z-9=0$$
    3. Colinéarité des vecteurs normaux. $\begin{pmatrix}5\\15\\-3\end{pmatrix}$ n'est pas colinéaire à $\begin{pmatrix}2\\6\\3\end{pmatrix}$ (les deux premières coordonnées le suggèrent avec le facteur $\dfrac{5}{2}$, mais pas la troisième).
      Non, les plans ne sont pas parallèles.
  3. Point $D$ et vecteur directeur $\overrightarrow{DG}$. $D(0\,;\,1\,;\,0)$, $G(3\,;\,1\,;\,1)$, $\overrightarrow{DG}\begin{pmatrix}3\\0\\1\end{pmatrix}$.
    $$\left\{\begin{array}{l}x=3t\\y=1\\z=t\end{array}\right.\quad(t\in\mathbb{R})$$
  4. Substitution dans l'équation du plan. $$6t+6+3t-9=0\iff t=\dfrac{1}{3}.$$
    $$N\!\left(1\,;\,1\,;\,\dfrac{1}{3}\right)$$
  5. Appartenance au plan et colinéarité de $\overrightarrow{GR}$ avec $\vec{n}$. $R$ appartient au plan $(HMF)$, mais $\overrightarrow{GR}\begin{pmatrix}0\\-3/4\\-1/2\end{pmatrix}$ n'est pas colinéaire à $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\6\\3\end{pmatrix}$.
    Non, $R$ n'est pas le projeté orthogonal de $G$ sur $(HMF)$.

Amérique du Nord 22 mai 2024 - J2