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Exercice 4

Amérique du Nord • Jour 1 • 21 mai 2025
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La partie C est indépendante des parties A et B.

Partie A

On donne ci-dessous, dans un repère orthogonal, les courbes $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$, représentations graphiques de deux fonctions définies et dérivables sur $\mathbb{R}$. L'une des deux fonctions représentées est la fonction dérivée de l'autre. On les notera $g$ et $g'$.

On précise également que :

  • La courbe $\mathcal{C}_{1}$ coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0~;~1)$.
  • La courbe $\mathcal{C}_{2}$ coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0~;~2)$ et l'axe des abscisses aux points de coordonnées $(-2~;~0)$ et $(1~;~0)$.
  1. En justifiant, associer à chacune des fonctions $g$ et $g'$ sa représentation graphique.
  2. Justifier que l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonction $g$ au point d'abscisse 0 est $y=2x + 1$.

Partie B

On considère $(E)$ l'équation différentielle

$$y+y'=(2x + 3) \mathrm{e}^{-x},$$

où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$.

  1. Montrer que la fonction $f_{0}$ définie pour tout nombre réel $x$ par $f_{0}(x)=\left(x^{2}+3 x\right) \mathrm{e}^{-x}$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$.
  2. Résoudre l'équation différentielle $\left(E_{0}\right): y+ y'= 0$.
  3. Déterminer les solutions de l'équation différentielle $(E)$.
  4. On admet que la fonction $g$ décrite dans la partie A est une solution de l'équation différentielle $(E)$.
    Déterminer alors l'expression de la fonction $g$.
  5. Déterminer les solutions de l'équation différentielle $(E)$ dont la courbe admet exactement deux points d'inflexion.

Partie C

On considère la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ par :

$$f(x)=\left(x^{2}+3 x+2\right) \mathrm{e}^{-x}$$
  1. Démontrer que la limite de la fonction $f$ en $+\infty$ est égale à 0.
    On admet par ailleurs que la limite de la fonction $f$ en $-\infty$ est égale à $+\infty$.
  2. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $\mathbb{R}$.
    1. Vérifier que, pour tout nombre réel $x$, $f'(x)=\left(-x^{2}-x+1\right) \mathrm{e}^{-x}$.
    2. Déterminer le signe de la fonction dérivée $f'$ sur $\mathbb{R}$ puis en déduire les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
  3. Expliquer pourquoi la fonction $f$ est positive sur l'intervalle $[0;+\infty[$.
  4. On notera $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal $(O;\vec{i},\vec{j})$. On admet que la fonction $F$ définie pour tout nombre réel $x$ par $F(x)=\left(-x^{2}-5 x-7\right) \mathrm{e}^{-x}$ est une primitive de la fonction $f$.

    Soit $\alpha$ un nombre réel positif.
    Déterminer l'aire $\mathcal{A}(\alpha)$, exprimée en unité d'aire, du domaine du plan délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et les droites d'équation $x=0$ et $x=\alpha$.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Primitives et équations différentielles
Limites de fonctions
Calcul intégral
Dérivation et convexité

Notions détaillées

Limites : opérations et comparaisons Théorème fondamental de l’intégration Suites récurrentes Étude de fonctions Algorithme Python

Solution écrite

Amérique du Nord 21 mai 2025 J1

La partie C est indépendante des parties A et B.

Partie A

  1. On identifie $g'$ comme la courbe dont les zéros correspondent aux extrema de $g$.

    $\mathcal{C}_2$ s'annule en $x=-2$ et $x=1$. Or $\mathcal{C}_1$ semble présenter des extrema exactement en ces abscisses. De plus, $\mathcal{C}_2(0)=2>0$ indique que $\mathcal{C}_1$ est croissante en 0, ce qui est cohérent avec le graphique.

    $\mathcal{C}_2$ est la représentation de $g'$ et $\mathcal{C}_1$ est la représentation de $g$.
  2. L'équation de la tangente en $x=0$ est $y=g(0)+g'(0)(x-0)$.

    D'après les courbes : $g(0)=\mathcal{C}_1(0)=1$ et $g'(0)=\mathcal{C}_2(0)=2$.

    La tangente en $x=0$ a pour équation $y=2x+1$.

Partie B

  1. On vérifie que $f_0+f_0'=(2x+3)e^{-x}$ par calcul direct. $$f_0(x)=(x^2+3x)e^{-x}$$ $$f_0'(x)=(2x+3)e^{-x}-(x^2+3x)e^{-x}=(-x^2-x+3)e^{-x}$$ $$f_0+f_0'=(x^2+3x)e^{-x}+(-x^2-x+3)e^{-x}=(2x+3)e^{-x} \checkmark$$
    $f_0$ est bien une solution particulière de $(E)$.
  2. $(E_0)$ est une équation différentielle du premier ordre à variables séparables : $y'=-y$.
    Les solutions de $(E_0)$ sont $y=Ce^{-x}$, où $C\in\mathbb{R}$.
  3. Les solutions de $(E)$ sont la solution particulière plus la solution générale de $(E_0)$.
    $$y=(x^2+3x+C)e^{-x}, \quad C\in\mathbb{R}$$
  4. On utilise la condition $g(0)=1$ lue sur $\mathcal{C}_1$ pour déterminer $C$. $$g(0)=(0+0+C)e^{0}=C=1$$
    $$g(x)=(x^2+3x+1)e^{-x}$$
  5. Points d'inflexion : changements de signe de $y''$.

    Pour $y=(x^2+3x+C)\mathrm{e}^{-x}$ :

    $$y'=(-x^2-x+3-C)\mathrm{e}^{-x},\qquad y''=(x^2-x+C-4)\mathrm{e}^{-x}.$$ Comme $\mathrm{e}^{-x}>0$, $y''=0\iff x^2-x+(C-4)=0$. Le discriminant vaut $$\Delta=1-4(C-4)=17-4C.$$ Il y a exactement deux racines réelles distinctes si et seulement si $\Delta>0$, c'est-à-dire $C<\dfrac{17}{4}$.
    Les solutions cherchées sont $y=(x^2+3x+C)\mathrm{e}^{-x}$ pour $$C<\dfrac{17}{4}.$$

Partie C

  1. D'après les croissances comparées : $\ x^n e^{-x}\to 0$ en $+\infty$ pour tout $n\in\mathbb{N}$. $$\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}(x^2+3x+2)e^{-x}=0$$
    $$\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$$
    1. On dérive par la règle du produit : $(uv)'=u'v+uv'$ avec $u=x^2+3x+2$ et $v=e^{-x}$. $$f'(x)=(2x+3)e^{-x}-(x^2+3x+2)e^{-x}$$ $$=\left(2x+3-x^2-3x-2\right)e^{-x}$$
      $$f'(x)=(-x^2-x+1)e^{-x}$$
    2. $e^{-x}>0$ toujours, donc le signe de $f'$ est celui du trinôme $-x^2-x+1$.

      Racines de $-x^2-x+1=0$ : $\Delta=1+4=5$, donc $x_1=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}$ et $x_2=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$.

      Le trinôme est positif entre les racines (coefficient de $x^2$ négatif).

      $f$ est décroissante sur $\left]-\infty~;~\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\right]$, croissante sur $\left[\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}~;~\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\right]$, décroissante sur $\left[\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}~;~+\infty\right[$.
  3. On factorise $f$ et on étudie le signe de chaque facteur sur $[0;+\infty[$. $$f(x)=(x^2+3x+2)e^{-x}=(x+1)(x+2)e^{-x}$$

    Sur $[0;+\infty[$, $x+1\geqslant 1>0$, $x+2\geqslant 2>0$ et $e^{-x}>0$.

    $f$ est positive sur $[0;+\infty[$ car les trois facteurs y sont strictement positifs.
  4. $f$ est positive sur $[0;\alpha]$, donc l'aire est donnée par l'intégrale de $f$, calculée à l'aide de la primitive $F$. $$\mathcal{A}(\alpha)=\int_0^{\alpha}f(x)\,dx=\left[F(x)\right]_0^{\alpha}=F(\alpha)-F(0)$$ $$F(0)=(-0-0-7)e^{0}=-7$$ $$F(\alpha)=(-\alpha^2-5\alpha-7)e^{-\alpha}$$
    $$\mathcal{A}(\alpha)=(-\alpha^2-5\alpha-7)e^{-\alpha}+7 \text{ u.a.}$$

Amérique du Nord 21 mai 2025 J1