La droite $(d)$ et l'axe des ordonnées sont deux droites non coplanaires.
On calcule le déterminant des trois vecteurs $\overrightarrow{OM}$, $\vec{u}_{(d)}$ et $\vec{u}_{\text{ord}}$ pour tester la coplanarité.
$\vec{u}=(-2~;~0~;~-6)$, $\vec{v}=(0~;~1~;~0)$, $\overrightarrow{OM}=(3~;~-1~;~2)$ où $M(3;-1;2)\in(d)$.
$$\begin{vmatrix} 3 & -2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 2 & -6 & 0 \end{vmatrix} = 18 - 4 = 14 \neq 0$$
VRAIE — le déterminant est non nul, les droites sont gauches.
Le plan passant par $A$ et orthogonal à la droite $(d)$ a pour équation cartésienne $x + 3z + 3= 0$.
Un plan orthogonal à $(d)$ admet $\vec{u}=(-2;0;-6)$ comme normale, colinéaire à $\vec{n}=(1;0;3)$.
Equation : $x+3z+d=0$. On substitue $A(3~;~-3~;~-2)$ :
$$3 + 3\times(-2)+d=0 \implies d=3$$
VRAIE — l'équation du plan est bien $x+3z+3=0$.
Une mesure, exprimée en radian, de l'angle géométrique $\widehat{\mathrm{BAC}}$ est $\dfrac{\pi}{6}$.
On détermine C, puis on calcule $\cos(\widehat{BAC})$ par le produit scalaire.
$3-2t=2 \Rightarrow t=\frac{1}{2}$, donc $C(2~;~-1~;~-1)$.
$$\overrightarrow{AB}=(2~;~-1~;~1),\quad \overrightarrow{AC}=(-1~;~2~;~1)$$
$$\cos(\widehat{BAC})=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{\|\overrightarrow{AB}\|\|\overrightarrow{AC}\|}=\dfrac{-2-2+1}{\sqrt{6}\times\sqrt{6}}=\dfrac{-3}{6}=-\dfrac{1}{2}$$
FAUSSE — $\cos(\widehat{BAC})=-\dfrac{1}{2}$ donc $\widehat{BAC}=\dfrac{2\pi}{3}$, et non $\dfrac{\pi}{6}$.
La distance BH est égale à $\dfrac{\sqrt{10}}{2}$.
D'après la formule de la distance d'un point à un plan : $d=\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.
$$BH=\dfrac{|5+0\times(-4)+3\times(-1)-7|}{\sqrt{1+0+9}}=\dfrac{|-5|}{\sqrt{10}}=\dfrac{5}{\sqrt{10}}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}$$
VRAIE — $BH=\dfrac{\sqrt{10}}{2}$.