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Exercice 2

Amérique du Nord • Jour 1 • 21 mai 2025
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On considère la suite numérique $(u_{n})$ définie par son premier terme $u_{0}=2$ et pour tout entier naturel $n$, par : $$u_{n+1}=\dfrac{2 u_{n}+1}{u_{n}+2}$$

On admet que la suite $(u_{n})$ est bien définie.

  1. Calculer le terme $u_{1}$.
  2. On définit la suite $(a_{n})$ pour tout entier naturel $n$, par : $$a_{n}=\dfrac{u_{n}}{u_{n}-1}$$ On admet que la suite $(a_{n})$ est bien définie.
    1. Calculer $a_{0}$ et $a_{1}$.
    2. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1}=3 a_{n}-1$.
    3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, $$a_{n} \geqslant 3 n-1$$
    4. En déduire la limite de la suite $(a_{n})$.
  3. On souhaite étudier la limite de la suite $(u_{n})$.
    1. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $u_{n}=\dfrac{a_{n}}{a_{n}-1}$.
    2. En déduire la limite de la suite $(u_{n})$.
  4. On admet que la suite $(u_{n})$ est décroissante.
    On considère le programme suivant écrit en langage Python : 
        def algo(p):
      u=2
      n=0
      while u-1>p:
          u=(2*u+1)/(u+2)
          n=n+1
      return (n,u)
    1. Interpréter les valeurs n et u renvoyées par l'appel de la fonction algo(p) dans le contexte de l'exercice.
    2. Donner, sans justifier, la valeur de $n$ pour $p=0,001$.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Suites et Limites

Notions détaillées

Théorème de comparaison (limites) Raisonnement par récurrence Algorithme Python

Solution écrite

Amérique du Nord 21 mai 2025 J1

On considère la suite numérique $(u_{n})$ définie par son premier terme $u_{0}=2$ et pour tout entier naturel $n$, par : $$u_{n+1}=\dfrac{2 u_{n}+1}{u_{n}+2}$$

On admet que la suite $(u_{n})$ est bien définie.

  1. Application directe de la relation de récurrence pour $n=0$. $$u_{1}=\dfrac{2 \times 2+1}{2+2}=\dfrac{5}{4}$$
    $$u_{1}=\dfrac{5}{4}$$
    1. Application directe de la définition de $a_n$ pour $n=0$ et $n=1$. $$a_{0}=\dfrac{u_{0}}{u_{0}-1}=\dfrac{2}{2-1}=2$$ $$a_{1}=\dfrac{u_{1}}{u_{1}-1}=\dfrac{\frac{5}{4}}{\frac{5}{4}-1}=\dfrac{\frac{5}{4}}{\frac{1}{4}}=5$$
      $a_{0}=2$ et $a_{1}=5$
    2. On exprime $a_{n+1}$ en fonction de $u_{n+1}$, puis on substitue la relation de récurrence. $$a_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}}{u_{n+1}-1}=\dfrac{\dfrac{2u_n+1}{u_n+2}}{\dfrac{2u_n+1}{u_n+2}-1}$$ $$=\dfrac{2u_n+1}{2u_n+1-(u_n+2)}=\dfrac{2u_n+1}{u_n-1}$$ On remarque ensuite que : $$3a_n - 1 = 3\cdot\dfrac{u_n}{u_n-1}-1=\dfrac{3u_n-(u_n-1)}{u_n-1}=\dfrac{2u_n+1}{u_n-1}$$
      Donc $a_{n+1}=3a_n-1$ pour tout entier naturel $n$.
    3. Démonstration par récurrence : initialisation, hérédité, conclusion. Initialisation : pour $n=1$, $a_1=5$ et $3\times 1-1=2$, donc $a_1=5\geqslant 2$. ✓

      Hérédité : supposons $a_n\geqslant 3n-1$ pour un certain $n\geqslant 1$. Alors : $$a_{n+1}=3a_n-1\geqslant 3(3n-1)-1=9n-4$$ Or $9n-4\geqslant 3(n+1)-1=3n+2$ si et seulement si $6n\geqslant 6$, i.e. $n\geqslant 1$. ✓

      Par récurrence, $a_n\geqslant 3n-1$ pour tout entier $n\geqslant 1$.
    4. D'après le théorème des gendarmes (ou par minoration). Puisque $a_n\geqslant 3n-1$ et $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(3n-1)=+\infty$ :
      $$\lim_{n\to+\infty} a_n=+\infty$$
    1. On exprime $u_n$ en fonction de $a_n$ par manipulation algébrique. Par définition $a_n=\dfrac{u_n}{u_n-1}$, donc $a_n(u_n-1)=u_n$, soit $a_n u_n - a_n = u_n$, d'où $u_n(a_n-1)=a_n$ :
      $$u_n=\dfrac{a_n}{a_n-1}$$
    2. D'après les théorèmes sur les limites et le résultat précédent. On a $u_n=\dfrac{a_n}{a_n-1}=\dfrac{1}{1-\frac{1}{a_n}}$. Comme $a_n\to+\infty$, on a $\dfrac{1}{a_n}\to 0$, donc :
      $$\lim_{n\to+\infty} u_n=1$$
    1. Lecture du code : la boucle s'arrête dès que $u_n - 1 leqslant p$. La fonction renvoie le plus petit entier $n$ tel que $u_n-1\leqslant p$, ainsi que la valeur correspondante $u_n$.
      n est le premier rang à partir duquel $u_n$ est à moins de $p$ de sa limite 1 ; u est la valeur $u_n$ correspondante.
    2. Par calcul numérique itératif (ou à la calculatrice).
      $$n=7$$

Amérique du Nord 21 mai 2025 J1