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Exercice 4

Amérique du Nord • Jour 1 • 21 mai 2024
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Pour tout entier naturel $ n $, on considère les intégrales suivantes : $$I_n = \int_{0}^{\pi} e^{-nx}\sin(x)\,dx, \quad J_n = \int_{0}^{\pi} e^{-nx}\cos(x)\,dx.$$

  1. Calculer $ I_0 $.
    1. Justifier que, pour tout entier naturel $ n $, on a $ I_n \geq 0 $.
    2. Montrer que, pour tout entier naturel $ n $, on a $ I_{n+1} - I_n \leq 0 $.
    3. Déduire des deux questions précédentes que la suite $ (I_n) $ converge.
    1. Montrer que, pour tout entier naturel $ n $, on a : $$ I_n \leq \int_{0}^{\pi} e^{-nx}\,dx. $$
    2. Montrer que, pour tout entier naturel $ n \geq 1 $, on a : $$ \int_{0}^{\pi} e^{-nx}\,dx = \frac{1 - e^{-n\pi}}{n}. $$
    3. Déduire des deux questions précédentes la limite de la suite $ (I_n) $.
    1. En intégrant par parties l’intégrale $ I_n $ de deux façons différentes, établir les deux relations suivantes, pour tout entier naturel $ n \geq 1 $ : $$ I_n = 1 + e^{-n\pi} - nJ_n \quad \text{et} \quad I_n = \frac{1}{n}J_n. $$
    2. En déduire que, pour tout entier naturel $ n \geq 1 $, on a : $$ I_n = \frac{1 + e^{-n\pi}}{n^2 + 1}. $$
  5. On souhaite obtenir le rang $ n $ à partir duquel la suite $ (I_n) $ devient inférieure à 0,1.
    Recopier et compléter la cinquième ligne du script Python ci-dessous avec la commande appropriée.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Calcul intégral
Suites et Limites

Notions détaillées

Théorème d’encadrement (des gendarmes) Théorème fondamental de l’intégration Intégration par parties Limite de suites Algorithme Python

Solution écrite

Amérique du Nord 21 mai 2024 - J1

  1. Primitive de $\sin$. $$I_0=\int_0^{\pi}\sin(x)\,\mathrm dx=[-\cos(x)]_0^{\pi}=2.$$
    $$I_0=2$$
    1. Positivité de l'intégrande. Sur $[0\,;\,\pi]$, $\sin(x)\geqslant 0$ et $e^{-nx}>0$, donc $I_n\geqslant 0$.
      $$I_n\geqslant 0$$
    2. Linéarité et signe de $e^{-x}-1$. $$I_{n+1}-I_n=\int_0^{\pi}e^{-nx}\sin(x)(e^{-x}-1)\,\mathrm dx\leqslant 0$$ car $e^{-x}-1\leqslant 0$ sur $[0\,;\,\pi]$.
      $$I_{n+1}-I_n\leqslant 0$$
    3. Théorème de convergence monotone. $(I_n)$ est décroissante et minorée par $0$, donc convergente.
      $(I_n)$ converge.
    1. Comparaison $\sin(x)\leqslant 1$. $$I_n\leqslant\int_0^{\pi}e^{-nx}\,\mathrm dx.$$
      Inégalité établie.
    2. Primitive de $e^{-nx}$. $$\int_0^{\pi}e^{-nx}\,\mathrm dx=\dfrac{1-e^{-n\pi}}{n}.$$
      $$\int_0^{\pi}e^{-nx}\,\mathrm dx=\dfrac{1-e^{-n\pi}}{n}$$
    3. Théorème d'encadrement. $$0\leqslant I_n\leqslant\dfrac{1-e^{-n\pi}}{n}\xrightarrow[n\to+\infty]{}0,$$ donc $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}I_n=0$.
      $$\lim_{n\to+\infty}I_n=0$$
    1. Deux intégrations par parties. Avec $u=e^{-nx}$, $v'=\sin$ : $I_n=1+e^{-n\pi}-nJ_n$. Avec $u=\sin$, $v'=e^{-nx}$ : $I_n=\dfrac{1}{n}J_n$.
      $$I_n=1+e^{-n\pi}-nJ_n\quad\text{et}\quad I_n=\dfrac{1}{n}J_n$$
    2. Substitution de $J_n=nI_n$. $$I_n=1+e^{-n\pi}-n^2 I_n\iff I_n=\dfrac{1+e^{-n\pi}}{n^2+1}.$$
      $$I_n=\dfrac{1+e^{-n\pi}}{n^2+1}$$
  5. Boucle while tant que $I\geqslant 0{,}1$.
    while I >= 0.1 :

Amérique du Nord 21 mai 2024 - J1