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Exercice 3

Amérique du Nord • Jour 1 • 21 mai 2024
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Le but de cet exercice est d’étudier la fonction $ f $ définie sur l’intervalle $ ]0 ; +\infty[ $ par: $$f(x) = x\ln(x^2) - \frac{1}{x}$$

Partie A : lectures graphiques

On a tracé ci-dessous la courbe représentative $(\mathcal{C}_f)$ de la fonction $ f $, ainsi que la droite $(T)$, tangente à la courbe $(\mathcal{C}_f)$ au point $A(1;~-1)$.
Cette tangente passe également par le point $B(0;~-4)$.

  1. Lire graphiquement $f'(1)$ et donner l’équation réduite de la tangente $(T)$.
  2. Donner les intervalles sur lesquels la fonction $ f $ semble convexe ou concave. Que semble représenter le point A pour la courbe $(\mathcal{C}_f)$ ?

Partie B : étude analytique

  1. Déterminer, en justifiant, la limite de $ f $ en $+\infty$, puis sa limite en 0.
  2. On admet que la fonction $ f $ est deux fois dérivable sur l’intervalle $ ]0 ; +\infty[ $.
    1. Déterminer $ f'(x) $ pour $ x $ appartenant à l’intervalle $ ]0 ; +\infty[ $.
    2. Montrer que pour tout $ x $ appartenant à l’intervalle $ ]0 ; +\infty[ $, $$f''(x) = \frac{2(x+1)(x-1)}{x^3}$$
    1. Étudier la convexité de la fonction $ f $ sur l’intervalle $ ]0 ; +\infty[ $.
    2. Étudier les variations de la fonction $ f' $, puis le signe de $ f'(x) $ pour $ x $ appartenant à l’intervalle $ ]0 ; +\infty[ $.
      En déduire le sens de variation de la fonction $ f $ sur l’intervalle $ ]0 ; +\infty[ $.
    1. Montrer que l’équation $ f(x) = 0 $ admet une unique solution $ \alpha $ sur l’intervalle $ ]0 ; +\infty[ $.
    2. Donner la valeur arrondie au centième de $ \alpha $ et montrer que $ \alpha $ vérifie : $$\alpha^2 = \exp\left( \frac{1}{\alpha^2} \right)$$

Concepts abordés

Chapitres principaux

Fonctions logarithmes
Dérivation et convexité
Continuité

Notions détaillées

TVI et corollaire (bijection) Limites : opérations et comparaisons Lectures graphiques Convexité et dérivée seconde Fonction logarithme népérien Étude de fonctions

Solution écrite

Amérique du Nord 21 mai 2024 - J1

Partie A : lectures graphiques

  1. Coefficient directeur de la tangente $(T)$. $$f'(1)=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{-4-(-1)}{0-1}=3.$$ L'ordonnée à l'origine est $-4$, donc $y=3x-4$.
    $$f'(1)=3\quad\text{et}\quad y=3x-4$$
  2. Position de la courbe par rapport à ses tangentes. $f$ semble concave sur $]0\,;\,1[$ et convexe sur $]1\,;\,+\infty[$. Le point $A(1\,;\,-1)$ semble être un point d'inflexion.
    Concave sur $]0\,;\,1[$, convexe sur $]1\,;\,+\infty[$ ; $A$ point d'inflexion.

Partie B : étude analytique

  1. Limites par opérations et croissances comparées. $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x\ln(x^2)=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}=0$, donc $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$. $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x\ln(x^2)=0$ (croissances comparées) et $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\left(-\dfrac{1}{x}\right)=-\infty$, donc $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x)=-\infty$.
    $$\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\qquad\lim_{x\to 0^+}f(x)=-\infty$$
    1. Dérivation produit et quotient. $$f'(x)=\ln(x^2)+2+\dfrac{1}{x^2}.$$
      $$f'(x)=\ln(x^2)+2+\dfrac{1}{x^2}$$
    2. Dérivation de $f'$. $$f''(x)=\dfrac{2}{x}-\dfrac{2}{x^3}=\dfrac{2(x^2-1)}{x^3}=\dfrac{2(x+1)(x-1)}{x^3}.$$
      $$f''(x)=\dfrac{2(x+1)(x-1)}{x^3}$$
    1. Signe de $f''$ sur $]0\,;\,+\infty[$. $f''(x)<0$ sur $]0\,;\,1[$ et $f''(x)>0$ sur $]1\,;\,+\infty[$. Ainsi $f$ est concave sur $]0\,;\,1[$ et convexe sur $]1\,;\,+\infty[$. $A$ est un point d'inflexion.
      Concave sur $]0\,;\,1[$, convexe sur $]1\,;\,+\infty[$.
    2. Minimum de $f'$ puis signe. $f'$ admet un minimum en $x=1$ avec $f'(1)=3>0$. Donc $f'(x)>0$ sur $]0\,;\,+\infty[$ et $f$ est strictement croissante sur $]0\,;\,+\infty[$.
      $f$ est strictement croissante sur $]0\,;\,+\infty[$.
    1. Théorème des valeurs intermédiaires (corollaire). $f$ est continue et strictement croissante, $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}f=-\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f=+\infty$, donc $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$.
      Existence et unicité de $\alpha$.
    2. Calculatrice puis réécriture de $f(\alpha)=0$. On a $1{,}327\leqslant\alpha\leqslant 1{,}328$, donc $\alpha\approx 1{,}33$. $$f(\alpha)=0\iff \alpha\ln(\alpha^2)=\dfrac{1}{\alpha}\iff \alpha^2=\exp\!\left(\dfrac{1}{\alpha^2}\right).$$
      $$\alpha\approx 1{,}33\quad\text{et}\quad \alpha^2=\exp\!\left(\dfrac{1}{\alpha^2}\right)$$

Amérique du Nord 21 mai 2024 - J1