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Exercice 4

Amérique du Nord • Jour 1 • 20 mai 2026
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On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par

$$f(x)=5\ln\left(x^{2}+1\right)-3x$$

et on admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.

On note $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan.

On a tracé ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A d'abscisse $1$.

Courbe de f
  1. Conjecturer, à l'aide de la représentation graphique de la fonction $f$, les intervalles de $\mathbb{R}$ sur lesquels la fonction $f$ semble convexe ou concave.
  2. Déterminer, en justifiant, la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
    1. Démontrer que, pour tout $x$ réel strictement positif, $$f(x)=x\left(10\dfrac{\ln x}{x}-3\right)+5\ln\left(1+\dfrac{1}{x^{2}}\right)$$
    2. Déterminer, en justifiant, la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
    1. Démontrer que pour tout $x$ réel, $\quad f'(x)=\dfrac{-3x^{2}+10x-3}{x^{2}+1}$.
    2. Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
  5. On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ et que pour tout réel $x$, $$f''(x)=\dfrac{-10x^{2}+10}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}$$
    1. Valider ou rejeter la conjecture faite à la question 1.
    2. Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A d'abscisse $1$.
    3. En déduire que pour tout $x \geqslant 1$, $\quad \ln\left(x^{2}+1\right) \leqslant x+\ln(2)-1$.

Concepts abordés

Chapitres principaux

Fonctions logarithmes
Dérivation et convexité

Notions détaillées

Limites : opérations et comparaisons Convexité et dérivée seconde Fonction logarithme népérien Étude de fonctions

Solution écrite

Amérique du Nord 20 mai 2026 J1

  1. Lecture graphique de la courbure et de la tangente en A. D'après la courbe, $f$ semble d'abord convexe puis concave. La tangente en A semble traverser la courbe au point de tangence.
    Conjecture : $f$ convexe sur $]-\infty\,;\,1]$, concave sur $[1\,;\,+\infty[$.
  2. Limites par composition et somme. On a $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(x^2+1)=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{X\to+\infty}\ln X=+\infty$, donc $$\lim_{x\to-\infty}\ln(x^2+1)=+\infty.$$ De plus $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(-3x)=+\infty$, d'où par somme $$\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty.$$
    $$\lim_{x\to-\infty} f(x)=+\infty$$
    1. Propriétés du logarithme et factorisation par $x$. Pour $x>0$ : $$\begin{aligned} f(x)&=5\ln\!\left(x^2\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)\right)-3x\\ &=5\ln(x^2)+5\ln\!\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)-3x\\ &=10\ln x-3x+5\ln\!\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)\\ &=x\left(10\dfrac{\ln x}{x}-3\right)+5\ln\!\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right). \end{aligned}$$
      La formule de l'énoncé est démontrée.
    2. Croissances comparées : $\dfrac{\ln x}{x}\to 0$. $$\lim_{x\to+\infty}\left(10\dfrac{\ln x}{x}-3\right)=-3,$$ donc $$\lim_{x\to+\infty}x\left(10\dfrac{\ln x}{x}-3\right)=-\infty.$$ De plus $$\lim_{x\to+\infty}\ln\!\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)=0.$$ Par somme, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$.
      $$\lim_{x\to+\infty} f(x)=-\infty$$
    1. Dérivation de $5\ln(u(x))-3x$ avec $u(x)=x^2+1$. $$f'(x)=5\dfrac{2x}{x^2+1}-3=\dfrac{10x-3(x^2+1)}{x^2+1}=\dfrac{-3x^2+10x-3}{x^2+1}.$$
      $$f'(x)=\dfrac{-3x^2+10x-3}{x^2+1}$$
    2. Signe de $f'$ : celui du trinôme $-3x^2+10x-3$. Le dénominateur $x^2+1>0$. Discriminant $\Delta=100-36=64$, racines $$x_1=3,\qquad x_2=\dfrac{1}{3}.$$ Le coefficient dominant $-3<0$, donc $f'(x)\geqslant 0$ sur $\left[\dfrac{1}{3}\,;\,3\right]$ et $f'(x)\leqslant 0$ ailleurs.
      $f$ décroissante sur $]-\infty\,;\,\dfrac{1}{3}]$ et sur $[3\,;\,+\infty[$, croissante sur $\left[\dfrac{1}{3}\,;\,3\right]$.
    1. Signe de $f''$ ; convexité / concavité. Le dénominateur $(x^2+1)^2>0$. Le numérateur s'écrit $$-10x^2+10=10(1-x^2)=10(1-x)(1+x).$$ Ainsi $f''(x)\geqslant 0$ sur $[-1\,;\,1]$ et $f''(x)\leqslant 0$ sur $]-\infty\,;-1]$ et $[1\,;\,+\infty[$, avec points d'inflexion en $x=\pm 1$.
      On rejette la conjecture : $f$ est convexe sur $[-1\,;\,1]$, concave sur $]-\infty\,;-1]$ et $[1\,;\,+\infty[$.
    2. Équation de la tangente : $y=f'(1)(x-1)+f(1)$. $$f(1)=5\ln 2-3,\qquad f'(1)=\dfrac{-3+10-3}{2}=2.$$ $$y=2(x-1)+5\ln 2-3=2x+5\ln 2-5.$$
      $$y=2x+5\ln 2-5$$
    3. Concavité sur $[1\,;\,+\infty[$ : la courbe est sous sa tangente. Sur $[1\,;\,+\infty[$, $f$ est concave, donc pour tout $x\geqslant 1$ : $$f(x)\leqslant 2x+5\ln 2-5.$$ En développant : $$5\ln(x^2+1)-3x\leqslant 2x+5\ln 2-5$$ $$\iff \ln(x^2+1)\leqslant x+\ln 2-1.$$
      Pour tout $x\geqslant 1$ : $$\ln(x^2+1)\leqslant x+\ln(2)-1.$$

Amérique du Nord 20 mai 2026 J1