Suites et Limites

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Résumé de cours

Suites et Limites

Suites et limites

Limite infinieLes suites de termes général $n$, $n^2$,...,$n^k$ ($k\in \N$), $\sqrt{n}$, $e^n$, $q^n$ ($q>1$) ont pour limite $+\infin$
Limite finieLes suites de termes général $\dfrac{1}{n}$, $\dfrac{1}{n^2}$,...,$\dfrac{1}{n^k}$ ($k\in \N$), $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$, $\dfrac{1}{q^n}$ ($q>1$), $\dfrac{1}{e^n}$, $q^n$ ($|q|<1$) ont pour limite $0$
Somme de limites
si $\lim\limits_{n \to +\infin }u_{n}=$ $l$ $l$ $l$ $+\infin$ $-\infin$ $+\infin$
si $\lim\limits_{n \to +\infin }v_{n}=$ $l'$ $+\infin$ $-\infin$ $+\infin$ $-\infin$ $-\infin$
$\lim\limits_{n \to +\infin }u_{n}+v_{n}=$ $l+l'$ $+\infin$ $-\infin$ $+\infin$ $-\infin$ Forme
indéterminée
Produit de limites
si $\lim\limits_{n \to +\infin }u_{n}=$ $l$ $l\not = 0$ $\infin$ $0$
si $\lim\limits_{n \to +\infin }v_{n}=$ $l'$ $\infin$ $\infin$ $\infin$
$\lim\limits_{n \to +\infin }u_{n}\times v_{n}=$ $l\times l'$ $\infin$ $\infin$ Forme
indéterminée
Quotient de limites
si $\lim\limits_{n \to +\infin }u_{n}=$ $l$ $l\not = 0$ $l$ $\infin$ $\infin$ $0$
si $\lim\limits_{n \to +\infin }v_{n}=$ $l'\not = 0$ $0$ $\infin$ $l$ $\infin$ $0$
$\lim\limits_{n \to +\infin }\dfrac{u_{n}}{v_{n}}=$ $\dfrac{l}{l'}$ $\infin$ $0$ $\infin$ Forme
indéterminée		 Forme
indéterminée
Théorème de comparaison, Limite InfinieSoient 2 suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ telles que $u_{n}\leq v_{n}$ à partir d'un certain rang.
  • Si $\lim\limits_{n \to +\infin }u_{n}=+\infin$ alors $\lim\limits_{n \to +\infin }v_{n}=+\infin$
  • Si $\lim\limits_{n \to +\infin }v_{n}=-\infin$ alors $\lim\limits_{n \to +\infin }u_{n}=-\infin$
Théorème de comparaison, Limite FinieSoient 2 suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ telles que $u_{n}\leq v_{n}$ à partir d'un certain rang.

Si $\lim\limits_{n \to +\infin }v_{n}=l$ alors $\lim\limits_{n \to +\infin }v_{n}\leq l$

Théorème des gendarmesSoient 3 suites $(u_{n})$, $(v_{n})$, $(w_{n})$ telles que $u_{n}\leq v_{n}\leq w_{n}$ à partir d'un certain rang.

Si $(u_{n})$ et $(w_{n})$ convergent vers une limite finie $l$ alors $(v_{n})$ converge vers $l$

Suites arithmétiquesSoit $(u_{n})$ une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_{0}$
  • Si $r>0$ alors $\lim\limits_{n \to +\infin }u_{n}=+\infin$
  • Si $r<0$ alors $\lim\limits_{n \to +\infin }u_{n}=-\infin$
  • Si $r=0$ alors $\lim\limits_{n \to +\infin }u_{n}=u_{0}$
Limite de  $q^n$Soit $q$ un nombre réel et $n$ un entier naturel
  • Si $0< q<1$ alors $\lim\limits_{n \to +\infin }q^n=0$
  • Si $q>1$ alors $\lim\limits_{n \to +\infin }q^n=+\infin$
  • Si $q=1$ alors $\lim\limits_{n \to +\infin }q^n=1$
Suites géométriquesSoit $(u_{n})$ une suite géométrique de premier terme $u_{0}$ et raison $q>0$
  • Si $0< q<1$ alors $\lim\limits_{n \to +\infin }u_{n}=0$
  • Si $q=1$ alors $\lim\limits_{n \to +\infin }u_{n}=u_{0}$
  • Si $q>1$ et $u_{0}>0$ alors $\lim\limits_{n \to +\infin }u_{n}=+\infin$
  • Si $q>1$ et $u_{0}<0$ alors $\lim\limits_{n \to +\infin }u_{n}=-\infin$

Solution écrite

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