Loi binomiale

Exercices, quiz et cours - Niveau Terminale Spécialité.

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6 exercices

Loi binomiale et probabilités conditionnelles

Intermédiaire Premium

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la binomiale $B(22; 0,13)$. Calculer les probabilités suivantes en détaillant la démarche.

  1. $P_{X\geq 4}(X<12)$
  2. $P_{X<11}(X=7)$
  3. $P_{8\leq X\leq 15}(X<17)$
  4. $P_{X<21}(16\leq X\leq 19)$
  5. $P_{X\leq 5}(X>6)$

Loi binomiale et retard

Intermédiaire Premium

Chaque jour dans une classe de 25 élèves chaque élève arrive en retard indépendamment des autres avec probabilité 0,08. On s'intéresse au nombre d'élèves en retard. Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre d'élèves en retard un certain jour.

  1. Déterminer la loi suivie par $X$ et préciser ses paramètres
  2. Calculer l'espérance de $X$ et interpréter
  3. Quelle est la probabilité que 2 élèves soient en retard?
  4. Quelle est la probabilité qu'au moins 1 élève soit en retard?
  5. Quelle est la probabilité qu'au maximum 4 élèves soient en retard?

Lancers de 2 dés simultanés et loi binomiale

Intermédiaire

On lance simultanément 2 dés non truqués à 6 faces. On s'intéresse à la somme des 2 chiffres obtenus.

  1. Si on fait 1 lancer des 2 dés, quelle est la probabilité d'obtenir une somme supérieure ou égale à 9?
  2. Au bout de 15 lancers quelle est la probabilité d'avoir obtenu 10 fois un total supérieur ou égal à 10?
  3. Au bout de 20 lancers quelle est la probabilité d'avoir obtenu 10 fois un total compris entre 4 et 6?

Programme Python et loi binomiale

Intermédiaire Premium

Le programme Python ci-dessous permet de simuler une expérience aléatoire. Déterminer à partir de ce programme la loi suivie par la variable aléatoire $X$ et préciser ses paramètres

Loi binomiale, inégalité et programme Python

Intermédiaire Premium

On choisit $n$ personnes au hasard (avec $n$ un entier naturel non nul) dans une population, et on assimile ces tirages à des tirages indépendants avec remise. La probabilité qu'une personne soit gauchère est de 12%.

  1. Exprimer en fonction de $n$ la probabilité $p_n$ d'avoir au moins 1 gaucher dans le groupe de $n$ personnes.
  2. On cherche le plus petit entier $n$ tel que $p_n \geq 0,99$. Interpréter cette inégalité avec une phrase.
  3. Écrire un algorithme Python qui détermine le plus petit entier $n$ tel que $p_n \geq 0,99$
  4. Déterminer cette valeur avec la calculatrice

Loi binomiale et tableau de valeurs

Intermédiaire Premium

La loi de probabilité d'une variable aléatoire qui suit la loi binomiale est donnée ci-dessous.

  1. Calculer la probabilité manquante
  2. Calculer $E(X)$
  3. Calculer $P(X\geq 4)$
  4. Peut-on affirmer que $P_{X\leq 3}(X\geq 2)=0,631$?
  5. Déterminer les paramètres de cette loi binomiale

Résumé de cours

Loi binomiale

Loi Binomiale

Épreuve de Bernoulli Une expérience aléatoire qui a exactement 2 issues appelées succès et échec
Loi de Bernoulli On considère une épreuve de Bernoulli et on note $X$ la variable aléatoire qui vaut 1 en cas de succès et 0 en cas d'échec. Soit $p$ la probabilité telle que $P(X=1)=p$. On dit que $X$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$
$k$ $1$ $0$
$P(X=k)$ $p$ $1-p$
Propriétés Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli de paramètre $p$
espérance $E(X)=p$ variance $V(X)=p(1-p)$
Schéma de Bernoulli On considère une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ avec $0\leq p\leq 1$. Si on répète $n$ fois cette épreuve de Bernoulli de façon indépendante on obtient alors un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$.
Loi Binomiale Une variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli de $n$ épreuves avec probabilité de succès $p$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$. On note en abrégé
Dans le cas où $X$ suit la loi $B(n;p)$, la probabilité d'obtenir $k$ succès avec $0\leq k \leq n$ vaut: $$P(X=k)=\dbinom{n}{k}p^k (1-p)^{n-k}$$
Propriétés Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi de $B(n;p)$
$E(X)=np$ $V(X)=np(1-p)$ $\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}$

Solution écrite

Aucune solution écrite pour cet exercice.

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