Une urne contient des jetons blancs et noirs tous indiscernables au toucher.
Une partie consiste à prélever au hasard successivement et avec remise deux jetons de cette urne.

On établit la règle de jeu suivante :

• un joueur perd 9 euros si les deux jetons tirés sont de couleur blanche ;
• un joueur perd 1 euro si les deux jetons tirés sont de couleur noire ;
• un joueur gagne 5 euros si les deux jetons tirés sont de couleurs différentes.

1. On considère que l’urne contient 2 jetons noirs et 3 jetons blancs.

   1. Modéliser la situation à l’aide d’un arbre pondéré.
   2. Calculer la probabilité de perdre 9 € sur une partie.

2. On considère maintenant que l’urne contient 3 jetons blancs et au moins deux jetons noirs mais on ne connaît pas le nombre exact de jetons noirs. On appellera $N$ le nombre de jetons noirs.

   1. Soit $X$ la variable aléatoire donnant le gain du jeu pour une partie.
      Déterminer la loi de probabilité de cette variable aléatoire.
   2. Résoudre l’inéquation pour $x$ réel :
   $$ -x^2 + 30x - 81 > 0 $$
   3. En utilisant le résultat de la question précédente, déterminer le nombre de jetons noirs que l’urne doit contenir afin que ce jeu soit favorable au joueur.
   4. Combien de jetons noirs le joueur doit-il demander afin d’obtenir un gain moyen maximal ?

3. On observe 10 joueurs qui tentent leur chance en effectuant une partie de ce jeu, indépendamment les uns des autres. On suppose que 7 jetons noirs ont été placés dans l’urne (avec 3 jetons blancs).

   Quelle est la probabilité d’avoir au moins 1 joueur gagnant 5 euros ?

Un commerçant vend deux types de matelas : matelas RESSORTS et matelas MOUSSE.
On suppose que chaque client achète un seul matelas.
On dispose des informations suivantes :

• 20 % des clients achètent un matelas RESSORTS. Parmi eux, 90 % sont satisfaits de leur achat.
• 82 % des clients sont satisfaits de leur achat.

Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A

On choisit au hasard un client et on note les évènements :

• $R$ : « le client achète un matelas RESSORTS »
• $S$ : « le client est satisfait de son achat »

On note $x = P_{\overline{R}}(S)$, où $P_{\overline{R}}(S)$ désigne la probabilité de $S$ sachant que $R$ n’est pas réalisé.

1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-contre décrivant la situation.
2. Démontrer que $x = 0,8$.
3. On choisit un client satisfait de son achat. Quelle est la probabilité qu’il ait acheté un matelas RESSORTS ?
   On arrondira le résultat à $10^{-2}$.

Partie B

1. On choisit 5 clients au hasard. On considère la variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de clients satisfaits de leur achat parmi ces 5 clients.

   1. On admet que $X$ suit une loi binomiale. Donner ses paramètres.
   2. Déterminer la probabilité qu’au plus trois clients soient satisfaits de leur achat.
      On arrondira le résultat à $10^{-3}$.

2. Soit $n$ un entier naturel non nul. On choisit à présent $n$ clients au hasard. Ce choix peut être assimilé à un tirage au sort avec remise.

   1. On note $p_n$ la probabilité que les $n$ clients soient tous satisfaits de leur achat. Démontrer que $p_n = 0,82^n$.
   2. Déterminer les entiers naturels $n$ tels que $p_n < 0,01$. Interpréter dans le contexte de l’exercice.

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Dans une grande ville française, des trottinettes électriques sont mises à disposition des usagers. Une entreprise, chargée de l’entretien du parc de trottinettes, contrôle leur état chaque lundi.

Partie A

On estime que :

• lorsqu’une trottinette est en bon état un lundi, la probabilité qu’elle soit encore en bon état le lundi suivant est $0,9$ ;
• lorsqu’une trottinette est en mauvais état un lundi, la probabilité qu’elle soit en bon état le lundi suivant est $0,4$.

On s’intéresse à l’état d’une trottinette lors des phases de contrôle.

Soit $n$ un entier naturel. On note $B_n$ l’évènement « la trottinette est en bon état $n$ semaines après sa mise en service » et $p_n$ la probabilité de $B_n$.
Lors de sa mise en service, la trottinette est en bon état. On a donc $p_0 = 1$.

1. Donner $p_1$ et montrer que $p_2 = 0,85$. On pourra s’appuyer sur un arbre pondéré.
2. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous :

3. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $p_{n+1} = 0,5p_n + 0,4$.
4. 1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $p_n \geq 0,8$.
   2. À partir de ce résultat, quelle communication l’entreprise peut-elle envisager pour valoriser la fiabilité du parc ?
5. 1. On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = p_n - 0,8$. Montrer que $(u_n)$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison.
   2. En déduire l’expression de $u_n$ puis de $p_n$ en fonction de $n$.
   3. En déduire la limite de la suite $(p_n)$.

Partie B

Dans cette partie, on modélise la situation de la façon suivante :

• l’état d’une trottinette est indépendant de celui des autres ;
• la probabilité qu’une trottinette soit en bon état est égale à $0,8$.

On note $X$ la variable aléatoire qui, à un lot de $15$ trottinettes, associe le nombre de trottinettes en bon état.
Le nombre de trottinettes du parc étant très important, le prélèvement de $15$ trottinettes peut être assimilé à un tirage avec remise.

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.
2. Calculer la probabilité que les $15$ trottinettes soient en bon état.
3. Calculer la probabilité qu’au moins $10$ trottinettes soient en bon état dans un lot de $15$.
4. On admet que $E(X) = 12$. Interpréter le résultat.