Loi binomiale

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Résumé de cours

Loi binomiale

Loi Binomiale

Épreuve de Bernoulli Une expérience aléatoire qui a exactement 2 issues appelées succès et échec
Loi de Bernoulli On considère une épreuve de Bernoulli et on note $X$ la variable aléatoire qui vaut 1 en cas de succès et 0 en cas d'échec. Soit $p$ la probabilité telle que $P(X=1)=p$. On dit que $X$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$
$k$ $1$ $0$
$P(X=k)$ $p$ $1-p$
Propriétés Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli de paramètre $p$
espérance $E(X)=p$ variance $V(X)=p(1-p)$
Schéma de Bernoulli On considère une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ avec $0\leq p\leq 1$. Si on répète $n$ fois cette épreuve de Bernoulli de façon indépendante on obtient alors un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$.
Loi Binomiale Une variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli de $n$ épreuves avec probabilité de succès $p$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$. On note en abrégé
Dans le cas où $X$ suit la loi $B(n;p)$, la probabilité d'obtenir $k$ succès avec $0\leq k \leq n$ vaut: $$P(X=k)=\dbinom{n}{k}p^k (1-p)^{n-k}$$
Propriétés Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi de $B(n;p)$
$E(X)=np$ $V(X)=np(1-p)$ $\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}$

Solution écrite

Aucune solution écrite pour cet exercice.

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