Limites de fonctions

Exercices, quiz et cours - Niveau Terminale Spécialité.

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6 exercices

Somme de limites

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Déterminer les limites en $+\infin$ et $-\infin$ des fonctions suivantes

  1. $f(x)=2x-1$
  2. $g(x)=3x^2-\frac{1}{x}$
  3. $h(x)=1-e^{-x}$
  4. $i(x)=2x^3+5x-6$

Quotient et produit de limites

Basique Premium

Déterminer les limites suivantes

  1. $\lim\limits_{x \to 0 }\dfrac{3x}{2\sqrt{x}-5}$
  2. $\lim\limits_{x \to 2^{+} }\dfrac{x-3}{5x-10}$
  3. $\lim\limits_{x \to -\infin }(x^2-1)(-\dfrac{3}{2}x+5)$
  4. $\lim\limits_{x \to 0^{-} }\dfrac{e^x+1}{e^x-1}$

Limites à gauches et à droites avec quotient

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Déterminer les limites suivantes

  1. $\lim\limits_{x \to 3^+ }\dfrac{-5x}{4x-12}$
  2. $\lim\limits_{x \to 3^- }\dfrac{-5x}{4x-12}$
  3. $\lim\limits_{x \to -2^{-} }\dfrac{3x^2}{3+\frac{3}{2}x}$
  4. $\lim\limits_{x \to -2^{+} }\dfrac{3x^2}{3+\frac{3}{2}x}$

Formes indéterminées

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Déterminer les limites suivantes

  1. $\lim\limits_{x \to +\infin }x^3-5x^2+3x+2$
  2. $\lim\limits_{x \to -\infin }\dfrac{3x^2-2x+7}{x^2-1}$
  3. $\lim\limits_{x \to +\infin }\dfrac{5e^x+1}{e^{2x}-3}$

Lire limites et asymptotes sur un tableau de variations

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On donne le tableau de variation d'une fonction $f$ ci-dessous

  1. Déterminer les limites de la fonction grâce au tableau de variations
  2. Déterminer les éventuelles asymptotes et leurs équations
  3. Tracer une allure possible de la courbe

Lire limites et asymptotes sur un graphique

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On considère les fonctions $f$ et $g$ représentées ci-dessous

  1. Déterminer l'ensemble de définition des fonctions
  2. Conjecturer les limites éventuelles
  3. Conjecturer les équations des asymtptotes éventuelles

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1 exercices

Limites et fonction partie entière

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On considère la fonction partie entière $y=E(x)$. $E(x)$ est le plus entier relatif inférieur ou égal à $x$. Par exemple, $E(2,7)=2$, $E(8)=8$ ou $E(-4,1)=-5$.
On a donc $\forall x\in \R$, $E(x) \leq x < E(x)+1$.
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=xE(\frac{1}{x})$

  1. Calculer les limites de $f$ en $+\infin$ et $-\infin$
  2. Montrer que $\forall x\in \R$ on a $x-1 < E(x) \leq x$
  3. Montrer que pour tout $x>0$, $1-x < f(x) \leq 1$ et en déduire $\lim\limits_{x \to 0^+ }f(x)$
  4. Montrer que pour tout $x<0$, $1\leq f(x)<1-x$ et en déduire $\lim\limits_{x \to 0^- }f(x)$
  5. Conclure

Résumé de cours

Limites de fonctions

Limites de Fonctions

Limite $+\infin$ en $+\infin$Si pour tout $A\in \R$ il existe un nombre $x_0$ tel que $f(x)\in ]A;+\infin[$ si $x\geq x_0$ alors on dit que $\lim\limits_{x \to +\infin }f(x)=+\infin$
Fonctions de référence $x\mapsto x^n$ avec $n\in \N^*$, $x\mapsto \sqrt{x}$, $x\mapsto e^{x}$ on pour limite $+\infin$ en $+\infin$
Limite $-\infin$ en $+\infin$Si pour tout $A\in \R$ il existe un nombre $x_0$ tel que $f(x)\in ]-\infin;A[$ si $x\geq x_0$ alors on dit que $\lim\limits_{x \to +\infin }f(x)=-\infin$
Fonctions de référence $x\mapsto -x^n$ avec $n\in \N^*$, $x\mapsto -\sqrt{x}$, $x\mapsto -e^{x}$ on pour limite $-\infin$ en $+\infin$
Limite finie en $+\infin$Dire que $\lim\limits_{x \to +\infin }f(x)=l$ signifie que pour tout intervalle ouvert contenant $l$ on peut trouver une valeur de $x$ à partir de laquelle toutes les valeurs de $f(x)$ appartiennent à cet intervalle ouvert.
Fonctions de référence $x\mapsto \frac{1}{x^n}$ avec $n\in \N^*$, $x\mapsto \frac{1}{\sqrt{x}}$, $x\mapsto -e^{x}$ on pour limite $0$ en $+\infin$
Limite infinie en $a\in \R$Dire qu’une fonction f a pour limite $+\infin$ en $a$ signifie que tout intervalle de la forme ]A ; +∞[ (avec A un nombre réel) contient toutes les valeurs f(x) pour x assez proche de a. On note $\lim\limits_{x \to a }f(x)=+\infin$
Exemples $\lim\limits_{x \to a^+}\frac{1}{x-a}=+\infin$ $\lim\limits_{x \to a^-}\frac{1}{x-a}=-\infin$ $\lim\limits_{x \to a}\frac{1}{(x-a)^2}=+\infin$
Asymptote horizontaleLa droite d'équation $y=l$ est une asymptote horizontale à la courbe représentative de $f$ en $+\infin$ ou en $-\infin$ si $\lim\limits_{x \to +\infin }f(x)=l$ ou $\lim\limits_{x \to -\infin }f(x)=l$
Asymptote verticaleSi $\lim\limits_{x \to a }f(x)=+\infin$ ou $\lim\limits_{x \to a }f(x)=-\infin$ la courbe de $f$ admet une asymptote verticale: la droite d'équation $x=a$
Somme de limites
si $\lim\limits_{x \to a }f(x)=$ $l$ $l$ $l$ $+\infin$ $+\infin$ $-\infin$
si $\lim\limits_{x \to a }g(x)=$ $l'$ $+\infin$ $-\infin$ $+\infin$ $-\infin$ $-\infin$
$\lim\limits_{x \to a }f(x)+g(x)=$ $l+l'$ $+\infin$ $-\infin$ $+\infin$ Forme
indéterminée		 $-\infin$
Produit de limites
si $\lim\limits_{x \to a }f(x)=$ $l$ $l>0$ $l>0$ $l<0$ $l<0$ $+\infin$ $+\infin$ $-\infin$ $0$
si $\lim\limits_{x \to a }g(x)=$ $l'$ $+\infin$ $-\infin$ $+\infin$ $-\infin$ $+\infin$ $-\infin$ $-\infin$ $+\infin$ ou $-\infin$
si $\lim\limits_{x \to a }f(x)\times g(x)=$ $l\times l'$ $+\infin$ $-\infin$ $-\infin$ $+\infin$ $+\infin$ $-\infin$ $+\infin$ Forme
indéterminée
Quotient de limites
si $\lim\limits_{x \to a }f(x)=$ $l$ $l'$ $+\infin$ $+\infin$ $-\infin$ $-\infin$ $-\infin$ ou $-\infin$
si $\lim\limits_{x \to a }g(x)=$ $l'\not = 0$ $+\infin$ ou $-\infin$ $l'>0$ $l'<0$ $l'>0$ $l'<0$ $+\infin$ ou $-\infin$
si $\lim\limits_{x \to a }\frac{f(x)}{g(x)}=$ $\dfrac{l}{l'}$ $0$ $+\infin$ $-\infin$ $-\infin$ $+\infin$ $+\infin$ ou $-\infin$
Théorème des comparaisonSoient 2 fonctions $f$, $g$ telles que $f(x)\geq g(x)$ pour $x$ assez grand

Si $\lim\limits_{x \to +\infin } g(x)=+\infin$ alors $\lim\limits_{x \to +\infin } f(x)=+\infin$

Théorème des gendarmesSoient 3 fonctions $f$, $g$, $h$ telles que $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$ pour $x$ assez grand

Si $\lim\limits_{x \to +\infin } f(x)=l$ et $\lim\limits_{x \to +\infin } h(x)=l$ alors $\lim\limits_{x \to +\infin } g(x)=l$

Solution écrite

Aucune solution écrite pour cet exercice.

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