Limite $+\infin$ en $+\infin$Si pour tout $A\in \R$ il existe un nombre $x_0$ tel que $f(x)\in ]A;+\infin[$ si $x\geq x_0$ alors on dit que $\lim\limits_{x \to +\infin }f(x)=+\infin$
Fonctions de référence $x\mapsto x^n$ avec $n\in \N^*$, $x\mapsto \sqrt{x}$, $x\mapsto e^{x}$ on pour limite $+\infin$ en $+\infin$
Limite $-\infin$ en $+\infin$Si pour tout $A\in \R$ il existe un nombre $x_0$ tel que $f(x)\in ]-\infin;A[$ si $x\geq x_0$ alors on dit que $\lim\limits_{x \to +\infin }f(x)=-\infin$
Fonctions de référence $x\mapsto -x^n$ avec $n\in \N^*$, $x\mapsto -\sqrt{x}$, $x\mapsto -e^{x}$ on pour limite $-\infin$ en $+\infin$
Limite finie en $+\infin$Dire que $\lim\limits_{x \to +\infin }f(x)=l$ signifie que pour tout intervalle ouvert contenant $l$ on peut trouver une valeur de $x$ à partir de laquelle toutes les valeurs de $f(x)$ appartiennent à cet intervalle ouvert.
Fonctions de référence $x\mapsto \frac{1}{x^n}$ avec $n\in \N^*$, $x\mapsto \frac{1}{\sqrt{x}}$, $x\mapsto -e^{x}$ on pour limite $0$ en $+\infin$
Limite infinie en $a\in \R$Dire qu’une fonction f a pour limite $+\infin$ en $a$ signifie que tout intervalle de la forme ]A ; +∞[ (avec A un nombre réel) contient toutes les valeurs f(x) pour x assez proche de a. On note $\lim\limits_{x \to a }f(x)=+\infin$
Exemples
$\lim\limits_{x \to a^+}\frac{1}{x-a}=+\infin$
$\lim\limits_{x \to a^-}\frac{1}{x-a}=-\infin$
$\lim\limits_{x \to a}\frac{1}{(x-a)^2}=+\infin$
Asymptote horizontaleLa droite d'équation $y=l$ est une asymptote horizontale à la courbe représentative de $f$ en $+\infin$ ou en $-\infin$ si $\lim\limits_{x \to +\infin }f(x)=l$ ou $\lim\limits_{x \to -\infin }f(x)=l$
Asymptote verticaleSi $\lim\limits_{x \to a }f(x)=+\infin$ ou $\lim\limits_{x \to a }f(x)=-\infin$ la courbe de $f$ admet une asymptote verticale: la droite d'équation $x=a$
Somme de limites
| si $\lim\limits_{x \to a }f(x)=$ |
$l$ |
$l$ |
$l$ |
$+\infin$ |
$+\infin$ |
$-\infin$ |
| si $\lim\limits_{x \to a }g(x)=$ |
$l'$ |
$+\infin$ |
$-\infin$ |
$+\infin$ |
$-\infin$ |
$-\infin$ |
| $\lim\limits_{x \to a }f(x)+g(x)=$ |
$l+l'$ |
$+\infin$ |
$-\infin$ |
$+\infin$ |
Forme
indéterminée |
$-\infin$ |
Produit de limites
| si $\lim\limits_{x \to a }f(x)=$ |
$l$ |
$l>0$ |
$l>0$ |
$l<0$ |
$l<0$ |
$+\infin$ |
$+\infin$ |
$-\infin$ |
$0$ |
| si $\lim\limits_{x \to a }g(x)=$ |
$l'$ |
$+\infin$ |
$-\infin$ |
$+\infin$ |
$-\infin$ |
$+\infin$ |
$-\infin$ |
$-\infin$ |
$+\infin$ ou $-\infin$ |
| si $\lim\limits_{x \to a }f(x)\times g(x)=$ |
$l\times l'$ |
$+\infin$ |
$-\infin$ |
$-\infin$ |
$+\infin$ |
$+\infin$ |
$-\infin$ |
$+\infin$ |
Forme
indéterminée |
Quotient de limites
| si $\lim\limits_{x \to a }f(x)=$ |
$l$ |
$l'$ |
$+\infin$ |
$+\infin$ |
$-\infin$ |
$-\infin$ |
$-\infin$ ou $-\infin$ |
| si $\lim\limits_{x \to a }g(x)=$ |
$l'\not = 0$ |
$+\infin$ ou $-\infin$ |
$l'>0$ |
$l'<0$ |
$l'>0$ |
$l'<0$ |
$+\infin$ ou $-\infin$ |
| si $\lim\limits_{x \to a }\frac{f(x)}{g(x)}=$ |
$\dfrac{l}{l'}$ |
$0$ |
$+\infin$ |
$-\infin$ |
$-\infin$ |
$+\infin$ |
$+\infin$ ou $-\infin$ |
Théorème des comparaisonSoient 2 fonctions $f$, $g$ telles que $f(x)\geq g(x)$ pour $x$ assez grand
Si $\lim\limits_{x \to +\infin } g(x)=+\infin$ alors $\lim\limits_{x \to +\infin } f(x)=+\infin$
Théorème des gendarmesSoient 3 fonctions $f$, $g$, $h$ telles que $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$ pour $x$ assez grand
Si $\lim\limits_{x \to +\infin } f(x)=l$ et $\lim\limits_{x \to +\infin } h(x)=l$ alors $\lim\limits_{x \to +\infin } g(x)=l$