On considère les droites $d$ et $d'$ de représentations paramétriques:

1. Les droites sont-elles orthogonales?
2. Les droites sont-elles perpendiculaires?

On considère le cube ABCDEFGH ci-dessous.

1. Justifier que $(EF)$ est orthogonale au plan $(FGC)$, puis que $(EF)$ et $GC$ sont orthogonales.
2. Justifier que les droites $(BC)$ et $(EG)$ ne sont pas orthogonales.
3. $(AH)$ et $(BH)$ sont-elles orthogonales?

Soit les points $A(-1;3;2)$, $B(2;-5;0)$ et $C(-4;11;3)$

1. Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$
2. Calculer $AB$ et $AC$.
3. En déduire la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$.

Pour chacun des plans suivants donner un vecteur normal et vérifier si le point donné est dans le plan.

1. $x-2y+3z+2=0$ et $A(-1; 3; \frac{5}{3})$
2. $4x-3z+1=0$ et $B(0; 5; -1)$
3. $\frac{x}{2}+y-6z+5=0$ et $C(6; -5; \frac{1}{2})$
4. $\sqrt{2}x+2\sqrt{3}y+4=0$ et $D(\sqrt{2}; -\sqrt{3}; \sqrt{5})$

On considère la droite $(d)$ de représentation paramétrique:

1. Déterminer une équation du plan orthogonal à $(d)$ et passant par $A$.
2. Déterminer les coordonnées du point d'intersection entre la droite et le plan.

On considère le cube ABCDEFGH d'arête 4 ci-dessous.

1. Montrer que les droites $(BG)$ et $(EC)$ sont orthogonales.
2. Calculer les produits scalaires $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CF}$

On considère le plan $P$ d'équation $-2x+4y-z-1=0$ et le point $A(-1;2;4)$.

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite perpendiculaire au plan $\mathscr{P}$ passant par $A$.
2. En déduire les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal de $A$ sur $\mathscr{P}$.
3. Déterminer la distance du point $A$ au plan $\mathscr{P}$.

La formule de la distance entre un point $A(x_A; y_A; z_A)$ et un plan $\mathscr{P}$ d'équation cartésienne $ax+by+cz+d=0$ est la suivante: $$d(A, \mathscr{P})=\dfrac{|ax_A+by_A+cz_A+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

4. Retrouver le résultat de la question précédente

On considère les points $A(2;0;5)$, $B(-1;2;3)$ et $C(-4;1;6)$

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.
2. Déterminer une équation cartésienne du plan orthogonal à $(AB)$ passant par $C$.
3. En déduire les coordonnées de $H$, le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$ puis la distance entre $C$ et $(AB)$.

Soit les points $A(1;~2;~-3)$, $B(~-3;~1;~4)$, $C(4;~6;~-1)$

1. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$
2. Montrer que les points $A$, $B$, $C$ définissent un plan.
3. Prouver que le vecteur $\vec{n}(2;~-1;~1)$ est normal au plan $(ABC)$ et déterminer une équation de ce plan.
4. Montrer que le point $D(-5;~9;~4)$ n'appartient pas au plan $(ABC)$
5. Déterminer la distance entre le point $D$ et le plan $(ABC)$.

Soit $\mathscr{P}$ le plan d'équation $ax+by+cz+d=0$ et $M_{0}$ le point de coordonnées $(x_0;y_0;z_0)$. On appelle $H$ le projeté orthogonal du point $M_0$ sur le plan $\mathscr{P}$

$\vec{n}(a;b;c;)$ est un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$. Le but de cet exercice est de prouver que la distance $d(M_0, \mathscr{P})$ du point $M_0$ au plan $\mathscr{P}$, c'est à dire la distance $M_{0}H$ est telle que: $$d(M_0, \mathscr{P})=\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

1. Justifier que $|\overrightarrow{n}.\overrightarrow{M_{0}H}|=M_{0}H\sqrt{a^2+b^2+c^2}$
2. Démontrer que $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{M_{0}H}=-ax_0-by_0-cz_0-d$.
3. Prouver la formule souhaitée.

Application: on considère les points $A$, $B$, $C$, $D$ de coordonnées respectives: $(4; 1; 5),(-3; 2; 0),(1; 3; 6),(-7; 0; 4)$.

4. Montrer que les points $A$, $B$, $C$ définissent un plan $\mathscr{P}$ et que ce plan a pour équation cartésienne $x+2y-z-1=0$
5. Déterminer la distance du point $D$ au plan $\mathscr{P}$ en utilisant la formule démontrée précédemment.

Soit les points $A(5;~0;~-1)$, $B(~1;~4;~-1)$, $C(1;~0;~3)$ et le plan $\cal{P_2}$ d'équation cartésienne $x-z-2=0$.

1. Déterminer les coordonnées du point $R$, milieu du segment $[AB]$.
2. Soit $\cal{P_1}$ le plan passant par le point $R$ et dont $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur normal, Démontrer qu'une équation cartésienne du plan $\cal{P_1}$ est: $$x-y-1=0$$
3. Justifier que les plans $\cal{P_1}$ et $\cal{P_2}$ sont sécants.
4. On note $\Delta$ la droite d'intersection de $\cal{P_1}$ et $\cal{P_2}$. Démontrer qu'une représentation paramétrique de cette droite est: $$\begin{cases}x=2+t\\ y=1+t\\ z=t\end{cases}$$

L'espace est rapporté au repère orthonormal où l'on considère:

1. les points $A(1;~1;~1)$, $B(~3;~2;~0)$;
2. le plan $\cal{P}$ passant par le point $B$ et admettant le vecteur $\overrightarrow{AB}$ pour vecteur normal;
3. le plan $\cal{Q}$ d'équation cartésienne $x-y+2z+4=0$;
4. la sphère $(S)$ de centre $A$ et de rayon $AB$;

1. Montrer qu'une équation cartésienne du plan $\cal{P}$ est: $2x+y-z-8=0$
2. Déterminer une équation de la sphère $(S)$.
3. Le point $C(~-1;~0;~0)$ appartient-il à la sphère $(S)$?
4. Calculer la distance du point $A$ au plan $\cal{Q}$. En déduire que le plan $\cal{Q}$ est tangent à la sphère $(S)$.
5. Le plan $\cal{P}$ est-il tangent à la sphère $(S)$?

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$. On considère les points $A(-1;2;1)$, $B(1;-6;-1)$ et $C(2;2;2)$

1. Vérifier que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan.
2. Montrer que le vecteur $\vec{n} \begin{pmatrix} 1 \\1 \\ -3 \end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
3. Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC)$.

Soit $P$ le plan d'équation: $x-y+z-4=0$

4. Montrer que les plans $(ABC)$ et $P$ sont sécants.
5. Soit $D$ la droite d'intersection des plans $P$ et $(ABC)$. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $D$.

On considère le cube ABCDEFGH d'arête 1 ci-dessous. Dans tout l'exercice l'espace est rapporté au repère orhonormé $(D; \overrightarrow{DA}; \overrightarrow{DC}; \overrightarrow{DH})$.

1. Soit $K$ le point tel que $\overrightarrow{KD}+2\overrightarrow{KF}=\vec{0}$. Montrer que les coordonnées de $K$ sont $(\dfrac{2}{3}~;~\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3})$.
2. Montrer que les droites $(EK)$ et $(DF)$ sont orthogonales.
3. Calculer la distance $EK$.

Soit $M$ un point du segment $[HG]$. On note $m=HM$ avec $m\in [0;1]$.

4. Montrer qu'une équation cartésienne du plan $(MFD)$. est $(-1+m)x+y-mz=0$.
5. Montrer que pour tout réel $m\in [0;1]$ la distance $d_m$ du point $E$ au plan $(MFD)$ est donnée par: $$d_m = \dfrac{1}{\sqrt{2m^2-2m+2}}$$
6. Déterminer la position de $M$ pour laquelle la distance $d_m$ est maximale.
7. Montrer que la distance maximale vaut $d_{m}=d(E; (MFD)) = \dfrac{\sqrt{6}}{3} = EK$.
8. Après avoir rappelé pourquoi le point $K$ appartient à la droite $(FD)$, montrer que lorsque la distance $d_m$ est maximale, $K$ est le projeté orthogonal de $E$ sur le plan $MFD$.

Dans un tétraèdre, le segment joignant un sommet au centre de gravité de la face opposée est appelée médiane. Ainsi, le segment $[AA']$ est une médiane du tétraèdre $ABCD$ ci-dessous.

PARTIE A

$ABCD$ est un tétraèdre régulier, c'est-à-dire un solide dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux. $A'$ est le centre de gravité du triangle $BCD$, c'est à dire le point d'intersection des médianes issues des sommets $B$, $C$, $D$.

1. En utilisant le point $I$, milieu de $[BD]$, montrer que $\overrightarrow{AA'}.\overrightarrow{BD}=0$
2. En utilisant le point $J$, milieu de $[BC]$, montrer que $\overrightarrow{AA'}.\overrightarrow{BC}=0$
3. En déduire que la droite $(AA')$ est perpendiculaire au plan $(BCD)$.

On a prouvé la propriété selon laquelle dans un tétraèdre régulier la médiane issue d'un sommet est orthogonale à la face opposée.

PARTIE B

On munit l'espace d'un repère orthonormal $(O,~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k})$. On considère les points $P(1~;~2~;~3)$, $Q(4~;~2~;~- 1)$ et $R(-2~;~3~;~0)$.

1. Montrer que le tétraèdre $OPQR$ n'est pas régulier.
2. On rappelle que le centrer de gravité $G$ d'un triangle $ABC$ quelconque vérifie la relation vectorielle: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$. Calculer les coordonnées de $P'$, centre de gravité du triangle $OQR$.
3. Vérifier qu'une équation cartésienne du plan $(OQR)$ est: $3x+2y+16z=0.$
4. La propriété de la partie A est-elle vérifiée?

On considère les points $A(-2;~0;~1)$, $B(1;~2;~-1)$ et $C(-2;~2;~2)$. Soit $\cal{S}$ la sphère de centre $\Omega(1;~-3;~1)$ et de rayon $r=3$

1. 1. Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ puis les longueurs $AB$ et $AC$.
   2. En déduire une valeur approchée arrondie au degré près de l'angle $\widehat{BAC}$.
   3. En déduire la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$ arrondie au degré.
2. Donner une équation cartésienne de la sphère $\cal{S}$.