Géométrie dans l'espace: partie 2

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Résumé de cours

Géométrie dans l'espace: partie 2

Orthogonalité et distances dans l'espace

Base de l'espace On appelle base orthonormée de l'espace 3 vecteurs linéairement indépendants $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ tels que: $\vec{i}.\vec{j}=0$, $\vec{j}.\vec{k}=0$, $\vec{i}.\vec{k}=0$ et $||\vec{i}||=||\vec{j}||=||\vec{k}||=1$
Orthogonalité dans l'espace
  1. Deux droites sont orthogonales lorsque leurs parallèles respectives passant par un même point sont perpendiculaires.
  2. Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux lorsque les droites dirigées par ces vecteurs sont orthogonales.
  3. Une droite est orthogonale à un plan lorsqu'elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan.
  4. Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.
Plans orthogonaux dans l'espace

On considère les plans $\cal{P_1}$ et $\cal{P_2}$. $\vec{n_1}$ est un vecteur normal de $\cal{P_1}$ et $\vec{n_1}$ un vecteur normal de $\cal{P_2}$.

$\cal{P_1}$ et $\cal{P_2}$ sont orthogonaux si et seulement si $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ sont orthogonaux.

Plans parallèles dans l'espace

On considère les plans $\cal{P_1}$ et $\cal{P_2}$. $\vec{n_1}$ est un vecteur normal de $\cal{P_1}$ et $\vec{n_1}$ un vecteur normal de $\cal{P_2}$.

$\cal{P_1}$ et $\cal{P_2}$ sont parallèles si et seulement si $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ sont colinéaires.

Produit scalaire dans l'espace Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls de l'espace, leur produit scalaire est défini par: $$\vec{u}.\vec{v}=||\vec{u}||\times ||\vec{v}||\times cos(\vec{u}; \vec{v})$$
Produit scalaire dans l'espace

Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls de l'espace, leur produit scalaire est défini par: $$\vec{u}.\vec{v}=||\vec{u}||\times ||\vec{v}||\times cos(\vec{u}, \vec{v})$$

Equation cartésienne d'un plan

Soit $\vec{n}(a;~b,~c)$ un vecteur normal à un plan $P$. Alors une équation cartésienne de ce plan est: $$ax+by+cz+d=0$$.

Distance d'un point à un plan

Soit $\cal{P}$ un plan de l'espace et $A$ un point. On note $H$ le projeté orthogonal du point $A$ sur ce plan, et $\vec{n}$ un vecteur normal de $\cal{P}$.

  1. La distance du point $A$ au plan $\cal{P}$ est la plus petite longueur $AM$ avec $M \in \cal{P}$
  2. En notant $d(A, \cal{P})$ la distance du point $A$ au plan $\cal{P}$, on a $d(A, \mathcal{P})=AH$
  3. Si $\cal{P}$ a pour équation cartésienne $ac+by+cz+d=0$, $A(x_A;~y_A;~z_A)$ et $M(x;~y;~z)$ un point du plan $\cal{P}$, alors: $$d(A, \mathcal{P})=\frac{|\overrightarrow{AM}.\vec{n}|}{||\vec{n}||}=\frac{|ax_A+by_A+cz_A+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$
Distance d'un point à une droite

Soit $\cal{D}$ une droite de l'espace et $A$ un point.

  1. La distance du point $A$ à la droite $\cal{D}$ est la plus petite longueur $AM$ avec $M \in \cal{D}$
  2. Soit $H$ le projeté orthogonal du point $A$ sur $\cal{D}$. En notant $d(A, \cal{D})$ la distance du point $A$ à la droite $\cal{D}$, on a $d(A, \mathcal{D})=AH$

Solution écrite

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