ABCDEFGH est un cube d'arrête 1. On se place dans la base $(B,~\overrightarrow{BC},~\overrightarrow{BH},~\overrightarrow{BA})$

Tracer la section du cube ABCEDFGH par le plan (IJK)

On se place dans un repère $(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})$

On considère la représentation paramétrique: $$\begin{cases}x=-1+t\\ y=2-t\\ z=3+t\end{cases}$$

On note $d'$ la droite passant par le point $B(4;4;-6)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(5;2;-9)$.

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d'$
2. Déterminer si les droites sont sécantes

On se place dans un repère $(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})$

1. Les vecteurs $\vec{u}=\vec{i}-\vec{j}$, $\vec{v}=\vec{i}+2\vec{j}-\vec{k}$ et $\vec{w}=3\vec{j}+2\vec{k}$ sont-ils linéairement indépendants?
2. Les vecteurs $\vec{u}=2\vec{i}+\vec{k}$, $\vec{v}=-\vec{i}+3\vec{j}+\vec{k}$ et $\vec{w}=3\vec{j}-\vec{k}$ forment-ils une base de l'espace?

On considère les vecteurs $\vec{u}(2;-3;1)$ et $\vec{v}(-1;5;3)$

1. Ces vecteurs définissent-ils un plan? Justifier.

On considère le point $A(1,1,3)$ et le plan $(A,\vec{u}, \vec{v})$

2. Le point $B(2,4,8)$ appartient-il au plan?

ABCDEFGH est un cube dans lequel les points $I$, $J$, $K$ sont définis par:

1. $I$ est le milieu du segment $[AD]$
2. $J$ est tel que $\vec{AJ}=\frac{3}{4} \vec{AE}$
3. $K$ est le milieu du segment $[FG]$

1. Construire le point d’intersection $P$ du plan $(IJK)$ et de la droite $(EH)$.
2. En déduire, en justifiant,l’intersection du plan $(IJK)$ et du plan $(EFG)$.

On se place dans un repère $(O;~\vec{i};~\vec{j};~\vec{k})$

On considère les points:

1. $A(1;~2;~0)$
2. $B(3;~0;~6)$
3. $C(6;~-1;~9)$
4. $D(-4;~4;~-6)$

Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles sécantes?

On se place dans un repère $(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})$. On considère les points: $A(1;-2;-1)$, $B(3;-5;-2)$ et $C(-1;1;0)$

1. Les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés?
2. On note $d_1$ la droite passant par les points $A$ et $B$. Donner une représentation paramétrique de la droite $d_1$.
3. On note $d_2$ la droite de représentation paramétrique: $$\begin{cases}x=2-t\\ y=1+2t\\ z=t\end{cases}$$ Démontrer que les droites $d_1$ et $d_2$ ne sont pas coplanaires
4. On considère la droite $d_3$ passant par le point $E(7;-6;-5)$ et de vecteur directeur $\vec{v}(0;5;-1)$. Montrer que $(AB)$ et $d_3$ sont sécantes en $D(7;-11;-4)$.

ABCD est un tétraèdre. $E$ est le milieu de $[BC]$ et $F$ le milieu de $[ED]$.

1. Prouver que $\vec{AF}=\frac{1}{4} \vec{AB} + \frac{1}{4} \vec{AC} + \frac{1}{2} \vec{AD}$