Dérivation et convexité

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Résumé de cours

Dérivation et convexité

Compléments sur la dérivation

Composée de 2 fonctions La fonction $u$ est définie sur un intervalle $I$ à valeurs dans $J$ et $v$ est définie sur $J$. La composée de $v$ par $u$ est notée $v \circ u$ et est définie par: $$(v \circ u)(x)=v(u(x))$$
Composée et dérivée Soit $u: I \rightarrow J$ dérivable sur $I$ et $v$ une fonction dérivable sur $J$. Alors $v \circ u$ est dérivable sur $I$ et $$(v \circ u)'(x)=v'(u(x)) \times u'(x)$$
Formules
Condition Formule
$u$ est dérivable sur $I$, $n \in \Z$
n si $n<0$, $u$ ne doit pas s'annuler		 $(u^n)'=n\times u^{n-1}\times u'$
$u$ est dérivable et ne s'annule pas sur $I$ $(\dfrac{1}{u})'=\dfrac{-1}{u^2}$
$u$ est strictement positive et dérivable sur un intervalle $I$ $(\sqrt{u})'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$
$u$ est dérivable sur un intervalle $I$ $(e^{u})'=u'\times e^u$
Dérivée seconde Soit $f$ une fonction dérivable sur $I$ telle que $f'$ soit également dérivable sur $I$. La dérivée seconde de $f$ notée $f''$ est la dérivée de $f'$ et a pour expression: $$f''(x)=(f'(x))'$$
Fonctions convexes et concaves

Fonction Convexe

Une fonction est convexe sur $I$ lorsque la courbe représentative de $f$ est au dessous de toutes les sécantes

Fonction Concave

Une fonction est concave sur $I$ lorsque la courbe représentative de $f$ est au dessus de toutes les sécantes

Propriétés des fonctions convexes et concaves

Fonction Convexe

    Les propositions suivantes sont équivalentes

  • $f$ est convexe sur $I$
  • $f''$ est positive sur $I$
  • $f'$ est croissante sur $I$
  • $C_f$ est au dessus de ses tangentes

Fonction Concave

    Les propositions suivantes sont équivalentes

  • $f$ est concave sur $I$
  • $f''$ est négative sur $I$
  • $f'$ est décroissante sur $I$
  • $C_f$ est au dessous de ses tangentes
Point d'inflexion
  • Un point d’inflexion est un point pour lequel la tangente traverse la courbe.
  • Un point d’inflexion est également défini comme le changement de convexité d’une fonction.
  • Si $f''$ s'annule en changeant de signe en $a$, alors la courbe admet un point d'inflexion d'abscisse $a$.

Solution écrite

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