Dérivation et convexité

Exercices, quiz et cours - Niveau Terminale Spécialité.

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6 exercices

Calcul de dérivées de fonctions composées

Basique Premium

Calculer les dérivées des fonctions composées suivantes:

  1. $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\sqrt{x^3-4x^2+3x+1}$
  2. $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=(3e^x+5x^2-1)^4$
  3. $h$ définie sur $\R \backslash \{3\}$ par $h(x)=e^{\frac{x+1}{x-3}}$
  4. $k$ définie sur $\R$ par $k(x)=\frac{5}{x^2+x+1}$

Étude de la convexité d'une fonction polynôme

Basique Premium

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=2x^3-8x^2+10x-15$

  1. Étudier les variations de $f$ sur $\R$
  2. Étudier la convexité de $f$ sur $\R$
  3. Déterminer les coordonnées des éventuels points d'inflexion

Lecture graphique et convexité

Basique Premium

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $[0;60]$ dont la courbe est donnée ci-dessous.

  1. En argumentant la réponse, donner le signe de $f'(54)$, où $f'$ est la fonction dérivée de $f$.
  2. Déterminer graphiquement un intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe.

    3. $f$ est définie sur $[0;60]$ par $f(x)=6+(60-x)e^{0,1x-5}.$

  3. Calculer $f'$ puis $f''(x)$ et vérifier les résultats des questions précédentes.

Étude de la convexité d'une fonction avec exponentielle

Basique Premium

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=(-5x^2+5)e^x$

  1. Montrer que $f'(x)=(-5x^2-10x+5)e^x$ et dresser le tableau de variations de $f$
  2. Montrer que $f''(x)=-(5x^2+20x+5)e^x$
  3. Étudier la convexité de $f$ sur $\R$ en précisant les éventuels point d'inflexion.

Calcul de dérivées de fonctions composées - 2

Basique Premium

Calculer les dérivées des fonctions composées suivantes:

  1. $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=e^{x^2-3}$
  2. $g$ définie sur $\R^+$ par $g(x)=\sqrt{x^2+\sqrt{x}}$
  3. $h$ définie sur $\R \backslash \{1\}$ par $h(x)=(\dfrac{2x+4}{x-1})^2$
  4. $k$ définie sur $\R$ par $k(x)=\sqrt{e^{2x}+3x^2}$

Tableau de variations et convexité

Basique Premium

$f$ est dérivable sur $[0;15]$ et sa dérivée $f'$ est continue sur $[0;15]$. Les variations de $f'$ sont représentées dans le tableau suivant.

  1. $C_f$ admet-elle des tangentes parallèlès horizontales? Justifier.
  2. Déterminer la convexité de $f$ sur $\R$.
  3. En déduire les potentiels points d'inflexion de $f$

Résumé de cours

Dérivation et convexité

Compléments sur la dérivation

Composée de 2 fonctions La fonction $u$ est définie sur un intervalle $I$ à valeurs dans $J$ et $v$ est définie sur $J$. La composée de $v$ par $u$ est notée $v \circ u$ et est définie par: $$(v \circ u)(x)=v(u(x))$$
Composée et dérivée Soit $u: I \rightarrow J$ dérivable sur $I$ et $v$ une fonction dérivable sur $J$. Alors $v \circ u$ est dérivable sur $I$ et $$(v \circ u)'(x)=v'(u(x)) \times u'(x)$$
Formules
Condition Formule
$u$ est dérivable sur $I$, $n \in \Z$
n si $n<0$, $u$ ne doit pas s'annuler		 $(u^n)'=n\times u^{n-1}\times u'$
$u$ est dérivable et ne s'annule pas sur $I$ $(\dfrac{1}{u})'=\dfrac{-1}{u^2}$
$u$ est strictement positive et dérivable sur un intervalle $I$ $(\sqrt{u})'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$
$u$ est dérivable sur un intervalle $I$ $(e^{u})'=u'\times e^u$
Dérivée seconde Soit $f$ une fonction dérivable sur $I$ telle que $f'$ soit également dérivable sur $I$. La dérivée seconde de $f$ notée $f''$ est la dérivée de $f'$ et a pour expression: $$f''(x)=(f'(x))'$$
Fonctions convexes et concaves

Fonction Convexe

Une fonction est convexe sur $I$ lorsque la courbe représentative de $f$ est au dessous de toutes les sécantes

Fonction Concave

Une fonction est concave sur $I$ lorsque la courbe représentative de $f$ est au dessus de toutes les sécantes

Propriétés des fonctions convexes et concaves

Fonction Convexe

    Les propositions suivantes sont équivalentes

  • $f$ est convexe sur $I$
  • $f''$ est positive sur $I$
  • $f'$ est croissante sur $I$
  • $C_f$ est au dessus de ses tangentes

Fonction Concave

    Les propositions suivantes sont équivalentes

  • $f$ est concave sur $I$
  • $f''$ est négative sur $I$
  • $f'$ est décroissante sur $I$
  • $C_f$ est au dessous de ses tangentes
Point d'inflexion
  • Un point d’inflexion est un point pour lequel la tangente traverse la courbe.
  • Un point d’inflexion est également défini comme le changement de convexité d’une fonction.
  • Si $f''$ s'annule en changeant de signe en $a$, alors la courbe admet un point d'inflexion d'abscisse $a$.

Solution écrite

Aucune solution écrite pour cet exercice.

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