Combinatoire et dénombrement

Exercices, quiz et cours - Niveau Terminale Spécialité.

Tous À faire Terminés
Basique

Basique

7 exercices

Cardinal d'union et de produit cartésien (principes additifs et multiplicatifs)

Basique Premium

Pour chacune des situations suivantes compter le nombre de possibilités

  1. Une classe contient 5 élèves qui font de l'allemand, 9 qui font de l'espagnol et 3 qui font du chinois. Chaque élève n'apprend que 1 seule langue, et on choisit 1 élève au hasard.
  2. Au menu d'un restaurant il y a 4 entrées, 6 plats et 3 desserts. On veut en choisir un de chaque catégorie.
  3. Un code est composé de 5 chiffres (compris entre 0 et 9) et 2 lettres choisies entre A, B et C.

Produits cartésiens

Basique Premium

Déterminer les produits cartésiens suivants

  1. On considère les ensembles $A=\{-1;0;3\}$ et $B=\{1;3\}$. Déterminer $A\times B$ et $B\times A$.
  2. On considère les ensembles $A=\{a;b\}$ et $B=\{0;1\}$ et $C=\{x;y;z\}$. Déterminer $A\times B\times C$
  3. Donner 2 ensembles A et B tels que $A\times B=\{(3;0),(3;1),(a;0),(a;1),(b;0),(b;1)\}$

Arrangements: dénombrer les k-uplets

Basique Premium

Dénombrer dans les cas suivants:

  1. Combien de mots de 4 lettres (ayant un sens ou non) peut-on former à l'aide des lettres A, B, C, D, E, F, G
  2. Dans une course de 10 personnes, combien de podium différents peuvent se produire?
  3. Dans une classe de terminale, 5 élèves doivent être interrogés sur les 20. Dans combien d'ordres différents le professeur peut-il les interroger?

Dénombrer les permutations

Basique Premium

Utiliser les permutations et la notation factorielle pour dénombrer.

  1. Combien peut-on former de mots (ayant un sens ou non) de six lettres distinctes en utilisant les lettres du mot ESPRIT
  2. Parmi ces mots, combien peut-on en former qui commencent par une voyelle? par une consonne?

Calcul de factoriels

Basique Premium

Simplifier les calculs suivants

  1. $\dfrac{8!}{5!}$
  2. $(n+2)!\times (n+3)$
  3. $\dfrac{(n+3)!}{(n+5)!}$
  4. $\dfrac{n!}{(n-1)!}$

Parties d'un ensemble

Basique Premium

On considère l'ensemble $E=\{a; b; c\}$

  1. Utiliser la formule pour déterminer le nombre de parties de $E$
  2. Combien y-a t'il de parties à 2 éléments?
  3. Calculer $\dbinom{3}{0}+\dbinom{3}{1}+\dbinom{3}{2}+\dbinom{3}{3}$
  4. Quel résultat retrouve-t'on?

Combinaisons et jeu de cartes

Basique Premium

On considère un jeu de 32 cartes, les cartes vont du 7 à l'As.

  1. Combien peut-on constituer de mains de 5 cartes?
  2. Combien de mains de 5 cartes contiennent uniquement des coeurs?
  3. Combien de mains de 5 cartes contiennent 2 Dames exactement?
  4. Combien de mains de 5 cartes contiennent les 4 As?
  5. Combien de mains de 5 cartes contiennent exactement 1 roi?
  6. Combien de mains de 5 cartes contiennent au moins 1 roi?
  7. Combien de mains de 5 cartes contiennent exactement 3 trèfles?
  8. Combien de mains de 5 cartes contiennent exactement 2 piques et 3 coeurs?

Résumé de cours

Combinatoire et dénombrement

Combinatoire et dénombrement

Ensemble disjointsDeux ensembles disjoints $A$ et $B$ vérifient: $A\cap B=\empty$. Ils n'ont pas d'éléments communs
Partie$A$ est une partie d'un ensemble $E$ si tous les éléments de $A$ sont dans $E$ et se note $A\sub E$
ComplémentaireSi $A\sub E$, l'ensemble $\overline{A}$ (le complémentaire de $A$) est l'ensemble des éléments de $E$ qui ne sont pas dans $A$.
Principe additifSi $A_{1}, A_{2},...,A_{n}$ sont des ensembles 2 à 2 disjoints alors $card(A_{1}\cup A_{2}\cup ...\cup A_{n})=card(A_{1})+card(A_{2})+...+card(A_{n})$
Produit cartésien$A\times B$ est le produit cartésien des ensembles $A$ et $B$ et se lit "A croix B". $A\times B$ est l'ensemble des couples $(x;y)$ avec $x\in A$ et $y\in B$
Principe multiplicatif$card(A\times B)=card(A)\times card(B)$ avec $A,B$ des ensembles finis.
k-upletSoit $E$ un ensemble non vide. Un $k$-uplet (ou $k$-liste) d'éléments de E est un élément du produit cartésien $E^k=E\times E\times ...\times E$ ($k$ facteurs)$
Propriété$card(A^k)=[card(A)]^k$
FactorielSoit $n$ un nombre entier, $n!=1\times 2\times 3\times ...\times n$ et se lit "factorielle n".
ArrangementSoit $E$ un ensemble à $n$ éléments et $k\leq n$. Un arrangement de $k$ éléments de $E$ ou $k$-arrangement est $k$-uplet d'éléments distincts de $E$.
Arrangement et OrdreDans un arrangement l'ordre compte et les éléments ne se répètent pas.
Arrangement$A_{k}^n=\dfrac{n!}{(n-k)!}=n(n-1)...(n-k+1)$
PermutationUne permutation d'un ensemble $E$ avec $card(E)=n$ est un $n$-uplet d'éléments 2 à 2 distincts de $E$.

Solution écrite

Aucune solution écrite pour cet exercice.

Video