1. Déterminer les aires rouges et violettes ci-dessus.
2. Exprimer ces deux aires à l'aide de la notation intégrale $\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx$

Calculer géométriquement les intégrales suivantes après avoir tracé la courbe représentative de chaque fonction sur l'intervalle considéré.

1. $\displaystyle \int_{-2}^3 4\,dx$
2. $\displaystyle \int_0^2 x\,dx$
3. $\displaystyle \int_1^4 -2x+10\,dx$
4. $\displaystyle \int_{-3}^3 |x|\,dx$

Déterminer le signe des intégrales suivantes sans faire de calcul:

1. $\displaystyle \int_{-1}^{2} \dfrac{x^2+1}{x^2} \,dx$
2. $\displaystyle \int_{0}^{4} e^{-x} \,dx$
3. $\displaystyle \int_{-1}^{-5} -3x^2 \,dx$
4. $\displaystyle \int_{0,1}^{0,5} \dfrac{ln(x)}{1-x} \,dx$

Pour chacune des fonctions suivantes, vérifier que la fonction en majuscule est une primitive de la fonction donnée puis calculer l'intégrale proposée.

1. $f(x)=ln(x)$ et $F(x)=xln(x)-x$ puis $\displaystyle \int_{4}^{10} ln(x) \,dx$
2. $g(x)=\dfrac{1}{x^3}$ et $G(x)=\dfrac{-1}{2x^2}$ puis $\displaystyle \int_{-4}^{-1} \dfrac{1}{x^3} \,dx$
3. $h(x)=(x-1)(x+3)$ et $H(x)=\dfrac{x^3}{3}+x^2-3x+1$ puis $\displaystyle \int_{-2}^{3} (x-1)(x+3) \,dx$
4. $j(x)=e^{-2x}-xe^{x^2}$ et $J(x)=-\dfrac{e^{-2x}}{2}-\dfrac{e^{x^2}}{2}$ puis $\displaystyle \int_{0}^{5} (e^{-2x}-xe^{x^2}) \,dx$

Calculer les intégrales suivantes

1. $\displaystyle \int_{1}^5 \sqrt{2} \,dx$
2. $\displaystyle \int_{-1}^3 3x-5\,dx$
3. $\displaystyle \int_0^1 x^3-3x^2+5x-10\,dx$
4. $\displaystyle \int_{-3}^3 |x|\,dx$

On considère la fonction définie sur $[0;~+\infin[$ par:$$\displaystyle \int_{0}^x ln(t+1) \,dt$$

1. Justifier que pour tout $x\in [0;~+\infin[$, $F(x)\geq 0$.
2. Donner une interprétation graphique de $F(1)$ et $F(2)$ puis les comparer.
3. Exprimer $F(5)-F(2)$ à l'aide d'une intégrale.
4. Calculer $F'(x)$ pour tout $x\in [0;~+\infin[$ et en déduire les variations de $F$ sur cet intervalle.

On considère les intégrales suivantes:$$I=\displaystyle \int_0^1 \dfrac{e^x}{e^x+1} \,dt~~;~~J=\displaystyle \int_0^1 \dfrac{1}{e^x+1} \,dt$$

1. Calculer $I$.
2. Prouver que $I+J=1$
3. En déduire la valeur de $J$.

Déterminer la valeur des intégrales suivantes à l'aide d'une intégration par parties.

1. $\displaystyle \int_{1}^2 xe^x \,dx$
2. $\displaystyle \int_{1}^e xln(x) \,dx$
3. $\displaystyle \int_{0}^3 \dfrac{x}{(x+4)^3} \,dx$
   
   On posera $u'(x)=\dfrac{1}{(x+4)^3}$ et $v(x)=x$
4. $\displaystyle \int_{-1}^1 x^3e^{x^2} \,dx$
   
   On posera $u'(x)=xe^{x^2}$ et $v(x)=x^2$
5. $\displaystyle \int_{e}^{e^2} ln(t) \,dx$
6. $\displaystyle \int_{1}^2 \dfrac{ln(t)}{t^2} \,dx$

1. Montrer que pour tout $t\in [0;~+\infin[$: $$1-t\leq \dfrac{1}{1+t} \leq 1-t+t^2$$
2. En déduire que pour tout $x\in [0;~+\infin[$: $$x-\dfrac{x^2}{2}\leq ln(1+x) \leq x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}$$
3. Utiliser le résultat précédent pour déterminer $$\lim\limits_{x \to 0 }\dfrac{ln(1+x)}{x}$$
4. Déterminer un encadrement de $ln(2)$ et vérifier le résultat à l'aide d'une calculatrice.

On considère la fonction $f$ de courbe représentative $C_f$ définie sur $]-1;~+\infin[$ par:$$f(x)=ln(1+x)$$. On a découpé l'intervalle $[2;~6]$ en 4 intervalles de longueur 1.

I. Rectangles à gauche

Chacun des rectangles suivants a pour hauteur respectivement $f(2),~f(3),~f(4),~f(5)$

1. Montrer que l'aire formée par les rectangles vaut $ln(360)$ unités d'aire.
2. En déduire une relation entre la valeur précédente et $\displaystyle \int_{2}^{6} ln(1+x) \,dx$

II. Rectangles à droite

Chacun des rectangles suivants a pour hauteur respectivement $f(3),~f(4),~f(5),~f(6)$

1. Montrer que l'aire formée par les rectangles vaut $ln(840)$ unités d'aire.
2. En déduire une relation entre la valeur précédente et $\displaystyle \int_{2}^{6} ln(1+x) \,dx$
3. En déduire grâce aux deux premières parties un encadrement de $\displaystyle \int_{2}^{6} ln(1+x) \,dx$

III. Rectangles au milieu

Chacun des rectangles suivants a pour hauteur respectivement $f(\frac{3}{2}),~f(\frac{5}{2}),~f(\frac{7}{2}),~f(\frac{9}{2})$

1. Montrer que l'aire formée par les rectangles vaut $ln(\dfrac{9009}{16}))$ unités d'aire. Que représente cette valeur par rapport à $\displaystyle \int_{2}^{6} ln(1+x) \,dx$?
2. Calculer $\displaystyle \int_{2}^{6} ln(1+x) \,dx$ à l'aide d'une intégration par parties et commenter le résultat précédent.

On considère l'intégrale:$$K=\displaystyle \int_0^{\pi} e^{x}cos(2x) \,dx$$

1. À l'aide de deux intégrations par parties successives montrer que $K=\dfrac{e^{\pi}-1}{5}$.
2. Soit $I=\displaystyle \int_0^{\pi} e^{x}cos^2(x) \,dx$ et $J=\displaystyle \int_0^{\pi} e^{x}sin^2(x) \,dx$
   Calculer $I+J$.
3. On rappelle que pour tous nombres réels $a$ et $b$, $cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)$. En utilisant cette identité, prouver que $I-J=K$.
4. En déduire les valeurs de $I$ et $J$.
5. Utiliser à nouveau l'identité $cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)$ pour montrer que $cos^2(x)=\dfrac{1+cos(2x)}{2}$ et $sin^2(x)=\dfrac{1-cos(2x)}{2}$.
   Retrouver directement les valeurs de $I$ et $J$ à l'aide de ce résultat et de la première question.

Les courbes $C_f$ et $C_g$ représentent respectivement les fonctions $f$ et $g$ définies sur $]0;~+\infin[$ par: $$f(x)=ln(x)~~~~g(x)=(ln~x)^2$$ On cherche à déterminer l'aire de la partie hachurée $\mathscr{A}$.

On note $I=\displaystyle \int_1^e ln(x) \,dx$ et $J=\displaystyle \int_1^e (ln~x)^2 \,dx$

1. Verifier que la fonction $F$ définie sur $]0;~+\infin[$ par $F(x)=xln(x)-x$ est une primitive de la fonction logarithme népérien. En déduire $I$.
2. Démontrer à l'aide d'une intégration par parties que $J=e-2I$.
3. En déduire $J$.
4. Déterminer les coordonnés des points d'intersection de $C_f$ et $C_g$.
5. Donner la valeur de $\mathscr{A}$.

1. Supposons qu'une voiture se déplace sur une autoroute et que sa vitesse (en mètres par seconde) après $t$ heures est donnée par la fonction:$$v(t) = 6t^3 - 27t^2 + 36t$$ pour $t$ dans l'intervalle $[0, 3]$ (c'est-à-dire pendant les 3 premières heures de son trajet).
   Calculer la vitesse moyenne de la voiture pendant les 3 premières heures de son trajet.
2. Supposons un pont suspendu modélisé par la fonction $y = \dfrac{e^{0.05x} + e^{-0.05x}}{2}$ sur l'intervalle $[-50, 50]$ mètres.
   Calculer la hauteur moyenne de la ligne du pont sur cet intervalle.
3. On considère la fonction définie par $p(x)=\dfrac{1}{1+e^{-0,2x}}$ sur $[0;~+\infin[$.
   1. Vérifier que pour tout $x\geq 0$:$$p(x)=\dfrac{e^{0,2x}}{1+e^{0,2x}}$$
   2. En déduire la valeur moyenne de $p$ sur l'intervalle $[8;~10]$