Soit $n$ un entier naturel et $f_n$ la fonction de courbe représentative $C_n$ définie sur $]0;~+\infin[$ par $f_n=\dfrac{(ln(x)^n)}{x^2}$. On pose:$$I_n=\displaystyle \int_1^e f_n(x) \,dx$$

1. On pose $F(x)=\dfrac{1+ln(x)}{x}$. Calculer $F'(x)$ et en déduire $I_1$.
2. En utilisant une intégration par parties montrer que:$$I_{n+1}=-\dfrac{1}{e}+(n+1)I_n$$
3. Calculer $I_2$ et en déduire l'aire du domaine compris entre les courbes $C_1$ et $C_2$ et les droites d'équations $x=1$ et $x=e$.
4. En utilisant le résultat de la question 2, prouver par récurrence que pour tout entier naturel $n$: $$\dfrac{1}{n!}I_n=1-\dfrac{1}{e}(1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+...++\dfrac{1}{n!})$$
5. En utilisant un encadrement de $ln(x)$ sur $[1;~e]$ montrer que pour tout entier naturel non nul:$$0\leq I_n\leq 1$$
6. En déduire $\lim\limits_{n \to +\infin }(1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+...++\dfrac{1}{n!})$

L'objectif est de calculer les intégrales suivantes: $$I=\displaystyle \int_0^1 \dfrac{1}{\sqrt{x^2+2}} \,dx~~;~~J=\displaystyle \int_0^1 \dfrac{x^2}{\sqrt{x^2+2}}~~;~~K=\displaystyle \int_0^1 \sqrt{x^2+2} \,dx$$

1. Calcul de $I$
   Soit $f$ la fonction définie sur $[0;~1]$ par:$$f(x)=ln(x+\sqrt{x^2+2})$$
1. Calculer la dérivée de la fonction $x\mapsto \sqrt{x^2+2}$
2. En déduire la dérivée $f'$ de $f$.
3. Calculer la valeur de $I$.
2. Calcul de $J$ et $K$
1. Sans calculer explicitement $J$ et $K$ vérifier que $J+2I=K$.
2. À l'aide d'une intégration par parties portant sur l'intégrale $K$ montrer que: $K=\sqrt{3}-J$.
3. En déduire les valeur de $J$ et $K$.

Le but de l'exercice esr de donner est de donner un encadrement du nombre $I$ défini par:$$I_n=\displaystyle \int_0^1 \dfrac{x^2e^x}{1+x} \,dx$$ Soit $f$ la fonction définie sur $[0;~1]$ par $f(x)=\dfrac{e^x}{1+x}$.

1. Étudier les variations de $f$ sur $[0;~1]$.
2. On pose pour tout entier naturel $S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^n f(\dfrac{k}{5})$.
   Justifier que pour tout entier $k$ compris entre 0 et 4 on a: $$\dfrac{1}{5}f\Big(\dfrac{k}{5}\Big)\leq \displaystyle \int_{\frac{k}{5}}^{\frac{k+1}{5}} \dfrac{e^x}{1+x} \,dx \leq \dfrac{1}{5}f\Big(\dfrac{k+1}{5}\Big)$$ Interpréter graphiquement à l'aide de rectangles les inégalités précédentes.
3. En déduire que: $\dfrac{1}{5}S_4\leq \displaystyle \int_0^1 \dfrac{e^x}{1+x} \,dx \leq \dfrac{1}{5}(S_5-1)$.
4. Donner des valeurs approchées à $10^{-4}$ près de $S_4$ et de $S_5$ respectivement.
   En déduire l'encadrement: $1,091\leq \displaystyle \int_0^1 \dfrac{e^x}{1+x} \,dx \leq 1,164$
5. Démontrer que pour tout réel $x\in [0;~1]$, on a: $$\dfrac{1}{1+x}=1-x+\dfrac{x^2}{1+x}$$
6. Justifier l'égalité $\displaystyle \int_0^1 \dfrac{e^x}{1+x} \,dx=\displaystyle \int_0^1 (1-x)e^x \,dx+I$.
7. Calculer $\displaystyle \int_0^1 (1-x)e^x \,dx$
8. En déduire un encadrement de $I=\displaystyle \int_0^1 \dfrac{x^2 e^x}{1+x} \,dx$ d'amplitude strictement inférieure à $10^{-1}$.

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;~+\infin[$ par: $$f(x)=\dfrac{ln(x+3)}{x+3}$$

1. Montrer que $f$ est dérivable sur $[0;~+\infin[$. Étudier le signe de sa fonction dérivée $f'$, sa limite éventuelle en $+\infin$, et dresser le tableau de variations.
2. On définit la suite $(u_n)$ par son terme général $u_n=\displaystyle \int_{n}^{n+1} f(x) \,dx$.
   1. Justifier que si $n\leq x\leq n+1$ alors $f(n+1)\leq f(x)\leq f(n)$.
   2. Montrer sans chercher à calculer $u_n$ que pour tout entier naturel $n$: $$f(n+1)\leq u_n \leq f(n)$$
   3. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente et déterminer sa limite.
3. Soit $F$ la fonction définie sur $[0;~+\infin$ par $$F(x)=[ln(x+3)]^2$$
   1. Justifier la dérivabilité sur $[0;~+\infin[$ de la fonction $F$ et déterminer pour tout réel $x$ positif le nombre $F'(x)$.
   2. On pose pour tout entier naturel $n$, $I_n=\displaystyle \int_{0}^{n} f(x) \,dx$.
      Calculer $I_n$.
4. On pose, pour tout entier naturel $n$, $S_n=u_0+u_1+...+u_{n-1}$.
   Calculer $S_n$. La suite $(S_n)$ est-elle convergente?