On considère les intégrales suivantes:$$I=\displaystyle \int_0^1 \dfrac{e^x}{e^x+1} \,dt~~;~~J=\displaystyle \int_0^1 \dfrac{1}{e^x+1} \,dt$$

1. Calculer $I$.
2. Prouver que $I+J=1$
3. En déduire la valeur de $J$.

Déterminer la valeur des intégrales suivantes à l'aide d'une intégration par parties.

1. $\displaystyle \int_{1}^2 xe^x \,dx$
2. $\displaystyle \int_{1}^e xln(x) \,dx$
3. $\displaystyle \int_{0}^3 \dfrac{x}{(x+4)^3} \,dx$
   
   On posera $u'(x)=\dfrac{1}{(x+4)^3}$ et $v(x)=x$
4. $\displaystyle \int_{-1}^1 x^3e^{x^2} \,dx$
   
   On posera $u'(x)=xe^{x^2}$ et $v(x)=x^2$
5. $\displaystyle \int_{e}^{e^2} ln(t) \,dx$
6. $\displaystyle \int_{1}^2 \dfrac{ln(t)}{t^2} \,dx$

1. Montrer que pour tout $t\in [0;~+\infin[$: $$1-t\leq \dfrac{1}{1+t} \leq 1-t+t^2$$
2. En déduire que pour tout $x\in [0;~+\infin[$: $$x-\dfrac{x^2}{2}\leq ln(1+x) \leq x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}$$
3. Utiliser le résultat précédent pour déterminer $$\lim\limits_{x \to 0 }\dfrac{ln(1+x)}{x}$$
4. Déterminer un encadrement de $ln(2)$ et vérifier le résultat à l'aide d'une calculatrice.

On considère la fonction $f$ de courbe représentative $C_f$ définie sur $]-1;~+\infin[$ par:$$f(x)=ln(1+x)$$. On a découpé l'intervalle $[2;~6]$ en 4 intervalles de longueur 1.

I. Rectangles à gauche

Chacun des rectangles suivants a pour hauteur respectivement $f(2),~f(3),~f(4),~f(5)$

1. Montrer que l'aire formée par les rectangles vaut $ln(360)$ unités d'aire.
2. En déduire une relation entre la valeur précédente et $\displaystyle \int_{2}^{6} ln(1+x) \,dx$

II. Rectangles à droite

Chacun des rectangles suivants a pour hauteur respectivement $f(3),~f(4),~f(5),~f(6)$

1. Montrer que l'aire formée par les rectangles vaut $ln(840)$ unités d'aire.
2. En déduire une relation entre la valeur précédente et $\displaystyle \int_{2}^{6} ln(1+x) \,dx$
3. En déduire grâce aux deux premières parties un encadrement de $\displaystyle \int_{2}^{6} ln(1+x) \,dx$

III. Rectangles au milieu

Chacun des rectangles suivants a pour hauteur respectivement $f(\frac{3}{2}),~f(\frac{5}{2}),~f(\frac{7}{2}),~f(\frac{9}{2})$

1. Montrer que l'aire formée par les rectangles vaut $ln(\dfrac{9009}{16}))$ unités d'aire. Que représente cette valeur par rapport à $\displaystyle \int_{2}^{6} ln(1+x) \,dx$?
2. Calculer $\displaystyle \int_{2}^{6} ln(1+x) \,dx$ à l'aide d'une intégration par parties et commenter le résultat précédent.

On considère l'intégrale:$$K=\displaystyle \int_0^{\pi} e^{x}cos(2x) \,dx$$

1. À l'aide de deux intégrations par parties successives montrer que $K=\dfrac{e^{\pi}-1}{5}$.
2. Soit $I=\displaystyle \int_0^{\pi} e^{x}cos^2(x) \,dx$ et $J=\displaystyle \int_0^{\pi} e^{x}sin^2(x) \,dx$
   Calculer $I+J$.
3. On rappelle que pour tous nombres réels $a$ et $b$, $cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)$. En utilisant cette identité, prouver que $I-J=K$.
4. En déduire les valeurs de $I$ et $J$.
5. Utiliser à nouveau l'identité $cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)$ pour montrer que $cos^2(x)=\dfrac{1+cos(2x)}{2}$ et $sin^2(x)=\dfrac{1-cos(2x)}{2}$.
   Retrouver directement les valeurs de $I$ et $J$ à l'aide de ce résultat et de la première question.

Les courbes $C_f$ et $C_g$ représentent respectivement les fonctions $f$ et $g$ définies sur $]0;~+\infin[$ par: $$f(x)=ln(x)~~~~g(x)=(ln~x)^2$$ On cherche à déterminer l'aire de la partie hachurée $\mathscr{A}$.

On note $I=\displaystyle \int_1^e ln(x) \,dx$ et $J=\displaystyle \int_1^e (ln~x)^2 \,dx$

1. Verifier que la fonction $F$ définie sur $]0;~+\infin[$ par $F(x)=xln(x)-x$ est une primitive de la fonction logarithme népérien. En déduire $I$.
2. Démontrer à l'aide d'une intégration par parties que $J=e-2I$.
3. En déduire $J$.
4. Déterminer les coordonnés des points d'intersection de $C_f$ et $C_g$.
5. Donner la valeur de $\mathscr{A}$.

1. Supposons qu'une voiture se déplace sur une autoroute et que sa vitesse (en mètres par seconde) après $t$ heures est donnée par la fonction:$$v(t) = 6t^3 - 27t^2 + 36t$$ pour $t$ dans l'intervalle $[0, 3]$ (c'est-à-dire pendant les 3 premières heures de son trajet).
   Calculer la vitesse moyenne de la voiture pendant les 3 premières heures de son trajet.
2. Supposons un pont suspendu modélisé par la fonction $y = \dfrac{e^{0.05x} + e^{-0.05x}}{2}$ sur l'intervalle $[-50, 50]$ mètres.
   Calculer la hauteur moyenne de la ligne du pont sur cet intervalle.
3. On considère la fonction définie par $p(x)=\dfrac{1}{1+e^{-0,2x}}$ sur $[0;~+\infin[$.
   1. Vérifier que pour tout $x\geq 0$:$$p(x)=\dfrac{e^{0,2x}}{1+e^{0,2x}}$$
   2. En déduire la valeur moyenne de $p$ sur l'intervalle $[8;~10]$

Soit $n$ un entier naturel et $f_n$ la fonction de courbe représentative $C_n$ définie sur $]0;~+\infin[$ par $f_n=\dfrac{(ln(x)^n)}{x^2}$. On pose:$$I_n=\displaystyle \int_1^e f_n(x) \,dx$$

1. On pose $F(x)=\dfrac{1+ln(x)}{x}$. Calculer $F'(x)$ et en déduire $I_1$.
2. En utilisant une intégration par parties montrer que:$$I_{n+1}=-\dfrac{1}{e}+(n+1)I_n$$
3. Calculer $I_2$ et en déduire l'aire du domaine compris entre les courbes $C_1$ et $C_2$ et les droites d'équations $x=1$ et $x=e$.
4. En utilisant le résultat de la question 2, prouver par récurrence que pour tout entier naturel $n$: $$\dfrac{1}{n!}I_n=1-\dfrac{1}{e}(1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+...++\dfrac{1}{n!})$$
5. En utilisant un encadrement de $ln(x)$ sur $[1;~e]$ montrer que pour tout entier naturel non nul:$$0\leq I_n\leq 1$$
6. En déduire $\lim\limits_{n \to +\infin }(1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+...++\dfrac{1}{n!})$

L'objectif est de calculer les intégrales suivantes: $$I=\displaystyle \int_0^1 \dfrac{1}{\sqrt{x^2+2}} \,dx~~;~~J=\displaystyle \int_0^1 \dfrac{x^2}{\sqrt{x^2+2}}~~;~~K=\displaystyle \int_0^1 \sqrt{x^2+2} \,dx$$

1. Calcul de $I$
   Soit $f$ la fonction définie sur $[0;~1]$ par:$$f(x)=ln(x+\sqrt{x^2+2})$$
1. Calculer la dérivée de la fonction $x\mapsto \sqrt{x^2+2}$
2. En déduire la dérivée $f'$ de $f$.
3. Calculer la valeur de $I$.
2. Calcul de $J$ et $K$
1. Sans calculer explicitement $J$ et $K$ vérifier que $J+2I=K$.
2. À l'aide d'une intégration par parties portant sur l'intégrale $K$ montrer que: $K=\sqrt{3}-J$.
3. En déduire les valeur de $J$ et $K$.

Le but de l'exercice esr de donner est de donner un encadrement du nombre $I$ défini par:$$I_n=\displaystyle \int_0^1 \dfrac{x^2e^x}{1+x} \,dx$$ Soit $f$ la fonction définie sur $[0;~1]$ par $f(x)=\dfrac{e^x}{1+x}$.

1. Étudier les variations de $f$ sur $[0;~1]$.
2. On pose pour tout entier naturel $S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^n f(\dfrac{k}{5})$.
   Justifier que pour tout entier $k$ compris entre 0 et 4 on a: $$\dfrac{1}{5}f\Big(\dfrac{k}{5}\Big)\leq \displaystyle \int_{\frac{k}{5}}^{\frac{k+1}{5}} \dfrac{e^x}{1+x} \,dx \leq \dfrac{1}{5}f\Big(\dfrac{k+1}{5}\Big)$$ Interpréter graphiquement à l'aide de rectangles les inégalités précédentes.
3. En déduire que: $\dfrac{1}{5}S_4\leq \displaystyle \int_0^1 \dfrac{e^x}{1+x} \,dx \leq \dfrac{1}{5}(S_5-1)$.
4. Donner des valeurs approchées à $10^{-4}$ près de $S_4$ et de $S_5$ respectivement.
   En déduire l'encadrement: $1,091\leq \displaystyle \int_0^1 \dfrac{e^x}{1+x} \,dx \leq 1,164$
5. Démontrer que pour tout réel $x\in [0;~1]$, on a: $$\dfrac{1}{1+x}=1-x+\dfrac{x^2}{1+x}$$
6. Justifier l'égalité $\displaystyle \int_0^1 \dfrac{e^x}{1+x} \,dx=\displaystyle \int_0^1 (1-x)e^x \,dx+I$.
7. Calculer $\displaystyle \int_0^1 (1-x)e^x \,dx$
8. En déduire un encadrement de $I=\displaystyle \int_0^1 \dfrac{x^2 e^x}{1+x} \,dx$ d'amplitude strictement inférieure à $10^{-1}$.

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;~+\infin[$ par: $$f(x)=\dfrac{ln(x+3)}{x+3}$$

1. Montrer que $f$ est dérivable sur $[0;~+\infin[$. Étudier le signe de sa fonction dérivée $f'$, sa limite éventuelle en $+\infin$, et dresser le tableau de variations.
2. On définit la suite $(u_n)$ par son terme général $u_n=\displaystyle \int_{n}^{n+1} f(x) \,dx$.
   1. Justifier que si $n\leq x\leq n+1$ alors $f(n+1)\leq f(x)\leq f(n)$.
   2. Montrer sans chercher à calculer $u_n$ que pour tout entier naturel $n$: $$f(n+1)\leq u_n \leq f(n)$$
   3. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente et déterminer sa limite.
3. Soit $F$ la fonction définie sur $[0;~+\infin$ par $$F(x)=[ln(x+3)]^2$$
   1. Justifier la dérivabilité sur $[0;~+\infin[$ de la fonction $F$ et déterminer pour tout réel $x$ positif le nombre $F'(x)$.
   2. On pose pour tout entier naturel $n$, $I_n=\displaystyle \int_{0}^{n} f(x) \,dx$.
      Calculer $I_n$.
4. On pose, pour tout entier naturel $n$, $S_n=u_0+u_1+...+u_{n-1}$.
   Calculer $S_n$. La suite $(S_n)$ est-elle convergente?